《几何专题》笔记(1)-黎曼几何回顾

局部黎曼几何基本定理

命题 1. 令$\omega_A$为$U\subset X$中的余标架场. 存在唯一一组$1$-形式$\omega_{AB}$满足:

$$\omega_{AB}+\omega_{BA}=0,\quad d\omega_A=\omega_B\wedge\omega_{BA}=\omega_{AB}\wedge\omega_B.$$

唯一性容易证明. 设有两组满足条件的$\omega_{AB},$ 令$\varphi_{AB}=\omega’_{AB}-\omega_{AB},$ 那么由于$\{\omega_C\}$为一组基, $\varphi_{BA}=a_{BAC}\omega_C.$ 由条件, $a_{BAC}+a_{ABC}=0$显然, 我们还有$a_{BAC}=a_{CAB}.$ 这是因为

$$0=d\omega_A-d\omega_A=\omega_B \wedge \varphi_{BA}=a_{BAC}\omega_B\wedge\omega_C=\sum_{B<C}(a_{BAC}-a_{CAB})\omega_B\wedge\omega_C.$$

此时立即得到$\varphi_{BA}=0.$ 这是因为

$$a_{ABC}=-a_{BAC}=-a_{CAB}=a_{ACB}=a_{BCA}=-a_{CBA}=-a_{ABC}.$$

存在性直接给出计算即可. 设$\omega_{BA}=b_{BAC}\omega_C,$ 那么

$$d\omega_A=b_{BAC}\omega_B\wedge\omega_C, \quad d\omega_A(e_B,e_C)=b_{BAC}-b_{CAB}.$$

轮换$A,B,C,$ 由反称性, 我们有:

$$\begin{aligned} &d\omega_A(e_B,e_C)+d\omega_C(e_B,e_A)-d\omega_{B}(e_A,e_C)\\ =&(b_{BAC}-b_{CAB})+(b_{BCA}-b_{ACB})-(b_{ABC}-b_{CBA})\\ =&2b_{BAC} \end{aligned}$$

这就给出了$\omega_{BA}$的具体表示. 特别的, 系数可进一步写为

$$\begin{aligned} b_{BAC}&=\frac{1}{2}(d\omega_A(e_B,e_C)+d\omega_C(e_B,e_A)-d\omega_{B}(e_A,e_C))\\ &=\frac{1}{2}(\omega_B([e_A,e_C])+\omega_A([e_C,e_B])-\omega_C([e_B,e_A])) \end{aligned}$$

协变微分

$\omega_{AB}$称为联络形式, 可用于定义协变微分. 对于标架场$\{e_A\},$ 向量场$\xi=\xi_Ae_A,$ 定义

$$D\xi=D\xi_A\otimes e_A,\quad D\xi_A=d\xi_A+\xi_B\omega_{BA}.$$

我们验证它就是Levi-Civita联络. 只需验证两个性质. 在正交标架下,

$$\left<{}D_\eta\xi,\gamma\right>=D\xi_A(\eta)\left<{}e_A,\gamma\right>=(\eta(\xi_A)+\xi_B\omega_{BA}(\eta))\gamma_A,$$

这样由反称性,

$$\eta\left<{}\xi,\gamma\right>=\eta(\xi_A\gamma_A)=\eta(\xi_A)\gamma_A+\xi_A\eta(\gamma_A)=\left<{}D_\eta\xi,\gamma\right>+\left<{}\xi,D_{\eta}\gamma\right>.$$

另外,

$$D_{\xi}\eta-D_{\eta}\xi=(D\eta_A(\xi)-D\xi_A(\eta))e_A=(\xi(\eta_A)-\eta(\xi_A)+\eta_B\omega_{BA}(\xi)-\xi_B\omega_{BA}(\eta))e_A.$$

而由对称性,

$$\eta_B\omega_{BA}(\xi_Ce_C)-\xi_B\omega_{BA}(\eta_Ce_C)=(\eta_B\xi_C-\xi_B\eta_C)b_{BAC}=0,$$

因此,

$$[\xi,\eta]=(\xi(\eta_A)-\eta(\xi_A))e_A=D_\xi\eta-D_\eta\xi.$$

于是该定义与原先的定义是一致的. 特别的, 我们有

$$De_A=\omega_{AB}\otimes e_B.$$

这样定义的好处就是形式简单, 如

$$D\xi=D(\xi_Ae_A)=d\xi_A \otimes e_A+\xi_A De_A.$$

对于高阶张量也可以定义协变导数. 设$T=T_{ABC}e_Ae_Be_C,$ 那么, $DT:=DT_{ABC}e_Ae_Be_C,$

$$DT_{ABC}=dT_{ABC}+T_{EBC}\omega_{EA}+T_{AEC}\omega_{EB}+T_{ABE}\omega_{EC}=T_{ABC,E}\omega_E.$$

曲率

对命题1中的等式做外微分, 我们有

$$0=d(d\omega_A)=d\omega_B\wedge\omega_{BA}-\omega_B\wedge d\omega_{BA}=\omega_C\wedge\omega_{CB}\wedge\omega_{BA}-\omega_C\wedge d\omega_{CA}.$$

记$\Omega_{BA}=d\omega_{BA}-\omega_{BC}\wedge\omega_{CA},$ 那么我们即有$\omega_B\wedge\Omega_{BA}=0.$ 由于$\Omega_{BA}$为$2$-形式, 其有展开 $\Omega_{BA}=-\frac{1}{2}R_{BACE}\omega_C\wedge\omega_E.$ 这就引出了曲率项. 显然其满足性质

$$R_{ABCE}=-R_{BACE}=-R_{ABEC}.$$

我们还有第一Bianchi恒等式

$$R_{ABCE}+R_{ACEB}+R_{AEBC}=0.$$

这是因为

$$\begin{aligned} 0&=\omega_{B}\wedge\Omega_{BA}=\frac{1}{2}R_{ABCE}\omega_B\wedge\omega_C\wedge\omega_E\\ &=\frac{1}{2}\sum_{B<C<E}(R_{ABCE}-R_{ABEC}-R_{ACBE}+R_{ACEB}+R_{AEBC}-R_{AECB})\omega_B\wedge\omega_C\wedge\omega_E\\ &=\sum_{B<C<E}(R_{ABCE}+R_{ACEB}+R_{AEBC})\omega_B\wedge\omega_C\wedge\omega_E \end{aligned}$$

结合前面的性质, 我们有$R_{ABCE}=R_{CEAB}.$ 这称为黎曼张量, 给出了黎曼度量的全部局部信息. 黎曼张量, 数量曲率的定义如下:

$$R_{AB}=R_{BA}=R_{ACBC},\quad R=R_{AA}.$$

Laplacian

对前面曾举例的$T,$ 我们定义它的同阶Laplacian为

$$(\Delta T)_{ABC}=T_{ABC,E,E}.$$

特别的, 若$u$是一个函数, 那么

$$du=u_A \omega_A,\quad Du_A=du_A+u_B\omega_{BA}=u_{A,B}\omega_B,\quad \Delta u=u_{A,A}.$$

我们还定义

$$|\operatorname{grad}u|^2=u_A^2.$$

若$\varphi(u)$为关于$u$的光滑函数, 那么

$$\Delta\varphi(u)=\varphi'(u)\Delta u+\varphi''(u)|\operatorname{grad}u|^2.$$

这是因为$\varphi(u)_A=\varphi’(u)u_A,$ $\varphi(u)_B\omega_{BA}=\varphi’(u)u_B\omega_{BA},$ $d(\varphi(u)_A)=\varphi’’(u)u_Au_B\omega_B+\varphi’(u)du_{A},$

$$D\varphi(u)_A=\varphi''(u)u_Au_B\omega_B+\varphi'(u)(du_A+u_B\omega_{BA})=\varphi''(u)u_Au_B\omega_B+\varphi'(u)Du_A.$$

这就给出了$\Delta\varphi(u).$

文章最后更新于 2023-03-02 19:47:28