《几何专题》笔记(1)-黎曼几何回顾
DreamAR

局部黎曼几何基本定理

命题 1. 令$\omega_A$为$U\subset X$中的余标架场. 存在唯一一组$1$-形式$\omega_{AB}$满足:

唯一性容易证明. 设有两组满足条件的$\omega_{AB},$ 令$\varphi_{AB}=\omega’_{AB}-\omega_{AB},$ 那么由于$\{\omega_C\}$为一组基, $\varphi_{BA}=a_{BAC}\omega_C.$ 由条件, $a_{BAC}+a_{ABC}=0$显然, 我们还有$a_{BAC}=a_{CAB}.$ 这是因为

此时立即得到$\varphi_{BA}=0.$ 这是因为

存在性直接给出计算即可. 设$\omega_{BA}=b_{BAC}\omega_C,$ 那么

轮换$A,B,C,$ 由反称性, 我们有:

这就给出了$\omega_{BA}$的具体表示. 特别的, 系数可进一步写为

协变微分

$\omega_{AB}$称为联络形式, 可用于定义协变微分. 对于标架场$\{e_A\},$ 向量场$\xi=\xi_Ae_A,$ 定义

我们验证它就是Levi-Civita联络. 只需验证两个性质. 在正交标架下,

这样由反称性,

另外,

而由对称性,

因此,

于是该定义与原先的定义是一致的. 特别的, 我们有

这样定义的好处就是形式简单, 如

对于高阶张量也可以定义协变导数. 设$T=T_{ABC}e_Ae_Be_C,$ 那么, $DT:=DT_{ABC}e_Ae_Be_C,$

曲率

对命题1中的等式做外微分, 我们有

记$\Omega_{BA}=d\omega_{BA}-\omega_{BC}\wedge\omega_{CA},$ 那么我们即有$\omega_B\wedge\Omega_{BA}=0.$ 由于$\Omega_{BA}$为$2$-形式, 其有展开 $\Omega_{BA}=-\frac{1}{2}R_{BACE}\omega_C\wedge\omega_E.$ 这就引出了曲率项. 显然其满足性质

我们还有第一Bianchi恒等式

这是因为

结合前面的性质, 我们有$R_{ABCE}=R_{CEAB}.$ 这称为黎曼张量, 给出了黎曼度量的全部局部信息. 黎曼张量, 数量曲率的定义如下:

Laplacian

对前面曾举例的$T,$ 我们定义它的同阶Laplacian为

特别的, 若$u$是一个函数, 那么

我们还定义

若$\varphi(u)$为关于$u$的光滑函数, 那么

这是因为$\varphi(u)_A=\varphi’(u)u_A,$ $\varphi(u)_B\omega_{BA}=\varphi’(u)u_B\omega_{BA},$ $d(\varphi(u)_A)=\varphi’’(u)u_Au_B\omega_B+\varphi’(u)du_{A},$

这就给出了$\Delta\varphi(u).$

文章最后更新于 2023-03-02 19:47:28

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  • 本文作者:DreamAR
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