《几何专题》笔记(3)-欧氏空间中的极小子流形
DreamAR

高度函数

首先考虑外围空间$X$为$N$维欧氏空间$E^N$的情形. 此时所有切空间可以等同于$E^N.$ 考虑浸入子流形$x:M\rightarrow E^n.$ 此时

固定一个向量$a\in E^N,$ 那么取$M$上函数$f=\left<{}a,x\right>,$ 表示沿$a$的高度函数. 那么,

这就给出了

这在$n>0$时说明了如下定理

定理 1. 欧氏空间中的浸入子流形极小当且仅当在诱导度量下, 全部坐标函数都是调和函数. 进而欧氏空间中没有紧致无边极小子流形.

这是因为紧致无边流形上的调和函数都是常数.

曲率

回忆

注意到欧氏空间中曲率为零. 因此拉回得到

记$S_{ijkl}$为$M$上度量的曲率张量, 那么

事实上, 这是高斯方程.

若$M$是极小的, 那么它的Ricci张量为

是半负定的. 进一步它的数量曲率为

因此我们有如下定理

定理 2. 极小子流形$M$的Ricci张量是半负定的. 它是全测地的(为线性子空间)当且仅当它的数量曲率为零.

极小超曲面

此时余维数为$1,$ 简记$h_{i,n+1,j}=h_{ij}.$ 那么$\theta_{i,n+1}=h_{ij}\theta_j.$ 我们有

进而$h_{ik,j}=h_{ij,k}.$ 这就是Codazzi方程.

由于$\theta_{n+1}=0,$

因此$h_{ij}=h_{ji}.$ 于是$h_{ij,k}$三变元都是对称的. 于是极小超曲面任意两下标求和均为零.

记$f=\left<{}a,e_{n+1}\right>,$ 那么

考虑形如$z=z(x_1,\cdots,x_n)$的极小超曲面. 那么切向量为

该曲面有到超平面的一一映射. Bernstein问题为是否极小曲面总是超平面. 我们希望证明$z=a_ix_i+a_{n+1}.$ 但是这在$n\ge 8$时有反例. 现考虑$n=2$的情形.

希望利用$\Delta \left<{}a,e_{n+1}\right>=S\left<{}a,e_{n+1}\right>.$ 取$a=(0,\cdots,0,1),$ 此时$\left<{}a,e_{n+1}\right>=-\frac{1}{W}.$ 因此,

那么$\frac{1}{W}$是上调和的正值函数, 必为常数. 这就说明了结论.

或者我们有高斯方程

曲面极小时, 有

由于

设$f=1+\frac{1}{W},$ 那么

回忆

由于$e_3=\frac{1}{W}(p_1,p_2,-1),$

由于

因此

考虑一个新度量$d\sigma=(1+\frac{1}{W})ds,$ $ds$由浸入诱导. $d\sigma\ge ds$ 是完备的. 断言在$\sigma$下, $\widetilde K\equiv 0,$ 进而它是可展曲面. 那么,

已知$K\le 0.$ 因此

上调和正函数为常数, 因此$K\equiv 0.$ 由前面的定理, 它是全测地的, 进而为超平面.

对前面的断言, 设$d\sigma^2=e^{2\lambda}ds^2,$ 那么

于是$\widetilde K=0$当且仅当$K=\Delta \log (1+\frac{1}{W}).$

极小曲面方程

回顾$ds^2=g_{ij}dx_idx_j,$ $g_{ij}=\delta_{ij}+p_ip_j.$ $g_{ik}g^{kj}=\delta_i^k,$ $g^{ij}=\delta_{ij}-\frac{1}{W^2}p_ip_j.$ 考虑第二基本型

因此

这当且仅当

这是因为

另一方面,

因此两者相等. 这样我们就得到了极小曲面方程.

文章最后更新于 2023-03-02 19:47:54

  • 本文标题:《几何专题》笔记(3)-欧氏空间中的极小子流形
  • 本文作者:DreamAR
  • 创建时间:2023-03-02 19:47:53
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