《几何专题》笔记(4)-球面中的极小子流形

记号

记空间形式$R^{n+p}(c)$为$n+p$维黎曼流形, 具常截面曲率$c$. 我们知道,

$$R^{n+p}(c)=\begin{cases} E^{n+p},&c=0\\ S^{n+p},&c=1,\quad x_1^2+\cdots+x_{n+p+1}^2=1\\ H^{n+p},&c=-1,\quad x_1^2+\cdots+x_{n+p}^2-x_{n+p+1}^2=-1 \end{cases}$$

考虑$x:M^n\rightarrow S^{n+1}\hookrightarrow E^{n+p+1},$ $\left<{}x,x\right>=1.$ 类似地考虑$\{e_i\},\{e_\alpha\}.$ 那么$\{e_i,e_\alpha,x\}$构成$E^{n+p+1}$中的正交标架. 我们有

$$dx=\theta_ie_i,\quad de_i=\theta_{ij}e_j+\theta_{i\alpha}e_\alpha-\theta_ix.$$ $$de_\alpha=\theta_{\alpha i}e_i+\theta_{\alpha\beta}e_\beta,\quad \theta_{i\alpha}=h_{i\alpha j}\theta_j.$$

$x$项系数是通过内积得到的, 如

$$\left<{}de_i,x\right>=-\left<{}e_i,dx\right>=-\theta_i.$$

极小子流形

设有浸入

$$x:M\hookrightarrow S^{n+p}\hookrightarrow \mathbb{R}^{n+p+1},$$

$\,\forall\,a\in \mathbb{R}^{n+p+1},$ 我们来计算

$$\Delta\left<{}x,a\right>=n\left<{}a,H\right>-n\left<{}x,a\right>.$$

记$f=\left<{}x,a\right>,$ 通过类似的计算, 我们有$f_i=\left<{}e_i,a\right>,$

$$f_{ij}\theta_j=df_i+f_j\theta_{ji}=\left<{}de_i,a\right>+\left<{}e_j,a\right>\theta_{ji}=\left<{}\theta_{ij}e_j+h_{i\alpha j}\theta_je_\alpha-\theta_ix,a\right>+\left<{}e_j,a\right>\theta_ji=\left<{}h_{i\alpha j}\theta_je_\alpha-\theta_ix,a\right>,$$ $$\Delta\left<{}x,a\right>=f_{ii}=n\left<{}a,H\right>-n\left<{}x,a\right>.$$

从而

定理 1. $x:M\rightarrow S^{n+p}$极小当且仅当$\Delta\left<{}x,a\right>=-n\left<{}x,a\right>,$ 当且仅当$\Delta x=-nx.$

例子

大圆

$n$-大圆都是全测地的. 取固定的$a\neq 0,$ 大圆可表示为

$$M_0:=\{x\in S^{n+1}|\left<{}x,a\right>=0\},$$ $$dx=\theta_i e_i,\quad de_i=\theta_{ij}e_j+h_{ij}e_je_{n+1}-\theta_ix,$$ $$de_{n+1}=-h_{ij}\theta_je_i.$$

对$\left<{}x,a\right>=0$求导, 我们有$\left<{}dx,a\right>=0,$ 因此$a\perp T_pM.$ 又由$a\perp x,$

$$a=ke_{n+1}.$$

由$\left<{}e_i,a\right>=0,$ $\left<{}de_i,a\right>=0,$

$$\left<{}\theta_{ij}e_j+h_{ij}\theta_je_{n+1}-\theta_ix,a\right>=0,\quad h_{ij}\theta_j=0,$$

于是$h_{ij}=0.$

对于$n$-小圆

$$M_c:=\{x\in S^{n+1}|\left<{}x,a\right>=c,0<c<1\},$$

第二基本型特征值均为固定非零常数, 即$\lambda_1=\cdots=\lambda_n=const\neq 0,$ 称为totally umbilical的.

Clifford tori

考虑极小超曲面$x:S^r(a_1)\times S^{n-r}(a_2)\hookrightarrow S^{n+1}\hookrightarrow \mathbb{R}^{n+2},$ $1\le r\le n-1.$ 我们通过

$$x:S^r(a_1)\times S^{n-r}(a_2)\hookrightarrow E^{r+1}\times E^{n-r+1}=E^{n+2}$$

来实现这样的嵌入, 那么设$x=(a_1\xi_1,a_2\xi_2),$ $|\xi_1|=|\xi_2|=1,$ $\xi_1\in E^{r+1},$ $\xi_2\in E^{n-r+1},$

$$\left<{}x,x\right>=a_1^2\left<{}\xi_1,\xi_1\right>+a_2^2\left<{}\xi_2,\xi_2\right>=a_1^2+a_2^2=1.$$ $$dx=(a_1d\xi_1,a_2d\xi_2),\quad \uppercase{\romannumeral 1\relax}=\left<{}dx,dx\right>=a_1^2\left<{}d\xi_1,d\xi_1\right>+a_2^2\left<{}d\xi_2,d\xi_2\right>.$$

选取$e_{n+1}=(-a_2\xi_1,a_1\xi_2),$ 那么我们选取到了正交基. 第二基本型

$$\uppercase{\romannumeral 2\relax}=-\left<{}dx,de_{n+1}\right>=-\left<{}(a_1d\xi_1,a_2d\xi_2),(-a_2d\xi_1,a_1d\xi_2)\right>=a_1a_2\left(\left<{}d\xi_1,d\xi_1\right>-\left<{}d\xi_2,d\xi_2\right>\right),$$

主曲率$\lambda_1=\cdots=\lambda_r=\frac{a_2}{a_1},$ $\lambda_{r+1}=\cdots=\lambda_n=-\frac{a_1}{a_2}.$ 于是

$$n H=\lambda_1+\cdots+\lambda_n=r\frac{a_2}{a_1}-(n-r)\frac{a_1}{a_2}=0\Leftrightarrow r\frac{a_2}{a_1}=(n-r)\frac{a_1}{a_2},$$

回忆$a_1^2+a_2^2=1,$ 从而这当且仅当$a_1=\sqrt{\frac{r}{n} },$ $a_2=\sqrt{\frac{n-r}{n} },$ 称为Clifford tori, $1\le r\le n-1.$

Veronese曲面

考虑$S^2(\sqrt{3})\hookrightarrow S^4(1),$ $(x,y,z)\mapsto (u_1,\cdots,u_5),$

$$u_1=\frac{1}{\sqrt{3} }yz,\quad u_2=\frac{1}{\sqrt{3} }zx,\quad u_3=\frac{1}{\sqrt{3} }xy,$$ $$u_4=\frac{1}{2\sqrt{3} }(x^2-y^2),\quad u_5=\frac{1}{6}(x^2+y^2-2z^2).$$

希望它是极小曲面, 因此要有$\Delta u_i=-2u_i.$ 显然$\Delta_E u_i=0.$ 我们可以通过研究两者的联系证明, 也可以直接进行计算.

该嵌入可以拉到$\mathbb{R}\mathrm{P}^2$上, 称为Veronese曲面.

Gauss映射

设$x:M\rightarrow S^{n+1}$为极小曲面. 类似于第三章, 我们有

$$\Delta \left<{}a,e_{n+1}\right>=-\sigma\left<{}a,e_{n+1}\right>,$$

取$f=\left<{}a,e_{n+1}\right>,$ 那么

$$df=-\left<{}a,h_{ji}\theta_ie_j\right>=f_i\theta_i,$$ $$f_{ij}\theta_j=df_i+f_j\theta_{ji}=-d(h_{ij}\left<{}a,e_j\right>)-h_{jk}\left<{}a,e_k\right>\theta_{ji},$$ $$f_{ij}=-h_{ikj}\left<{}a,e_k\right>-h_{ik}\left<{}a,h_{kj}e_{n+1}-x\delta_{kj}\right>,$$ $$\Delta f=f_{ii}=-h_{ij}^2f,\quad \Delta\left<{}a,e_{n+1}\right>=-\sigma\left<{}a,e_{n+1}\right>.$$

$M$定向时, 有良定义的$e_{n+1}:M\hookrightarrow S^{n+1}$给出了Gauss映射.

定理 2. 令$M^n\rightarrow S^{n+1}$为定向闭极小超曲面. 若Gauss映射像在某个开半球内, 则$M^n$全测地.

即存在$a,$ 使得$\left<{}a,e_{n+1}\right>>0.$ 注意到

$$0=\int_M\Delta \left<{}a,e_{n+1}\right>dA=-\int_M\sigma \left<{}a,e_{n+1}\right>dA.$$

因此$\sigma=0,$ 即$M$全测地.

定理 3. 设$x:M^2\hookrightarrow S^3$为极小曲面, 那么$x(S^2)$为$S^3$上的大圆.

思路是, 首先构造一个全纯二次型$Q(dz)^2,$ 由$g(S^2)=0,$ 推出$Q\equiv 0$. 这样就有$h_{ij}=0,$ $M=S^2(1).$

存在等温坐标系

$$ds^2=\lambda^2(dx^2+dy^2)=\lambda^2dzd\overline z,\quad z=x+iy,\quad \lambda\in C^\infty(M).$$

记

$$\alpha=\theta_1+i\theta_2=\lambda dz, \quad h=h_{11}+ih_{12},$$ $$\beta=\theta_{13}+i\theta_{23}=h_{11}\theta_1+h_{12}\theta_2+i(h_{12}\theta_1-h_{11}\theta_2)=h_{11}(\theta_1-i\theta_2) +ih_{12}(\theta_1-i\theta_2)=h\overline\alpha.$$

那么

$$d\alpha=\theta_{12}\wedge \theta_2+i\theta_{21}\wedge \theta_1=\theta_{12}\wedge (\theta_2-i\theta_1)=-i\theta_{12}\wedge\alpha,$$ $$(d\lambda + i\lambda \theta_{12})\wedge dz=0, \quad d\lambda=-i\lambda \theta_{12}+\Lambda_1dz.$$ $$d\beta=d\theta_{13}+id\theta_{23}=\theta_{12}\wedge\theta_{23}+i\theta_{21}\wedge\theta_{13}=-i\theta_{12}\wedge \beta.$$

那么,

$$dh\overline\alpha=dh\wedge\overline\alpha+hd\overline\alpha=dh\wedge\overline\alpha+h(i\theta_{12}\wedge \overline\alpha)=-hi\theta_{12}\wedge \overline\alpha,$$

于是,

$$\lambda(dh+2ih\theta_{12})\wedge\overline z=0,\quad d\overline h-2i\overline h\theta_{12}=\Lambda_2 d z.$$

取$q=\lambda^2\overline h,$ 那么

$$\begin{aligned} d(\lambda^2\overline h)=&2\lambda d\lambda \overline h+\lambda^2 d\overline h\\ =&2\lambda (-i\lambda \theta_{12}+\Lambda_1dz)\overline h+\lambda^2(2i\overline h\theta_{12}+\Lambda_2dz)\\ =&\lambda (2\overline h\Lambda_1+\lambda\Lambda_2)dz. \end{aligned}$$

于是$q$是全纯形式, $\frac{\partial {} }{\partial {}\overline z}(\lambda^2\overline h)=0.$

文章最后更新于 2023-03-16 15:51:56