《几何专题》笔记(6)-极小子流形

Schur定理

若$R_{AB}=c\delta_{AB},$ 则称$M$为Einstein流形.

定理 1 (Schur). 若$R_{AB}=\lambda \delta_{AB},$ 那么$M$也是Einstein流形.

曲率

回忆有

$$d\omega_{AB}=\omega_{AC}\wedge\omega_{CB}-\frac{1}{2}\widetilde R_{ABCD}\omega_C\wedge\omega_D.$$

拉回得到

$$d\theta_{ij}-\theta_{ik}\wedge\theta_{kj}=-\theta_{i\alpha}\wedge\theta_{j\alpha}-\frac{1}{2}\widetilde R_{ijkl}\theta_k\wedge\theta_l=-\frac{1}{2}R_{ijkl}\theta_k\wedge\theta_l,$$ $$R_{ijkl}=\widetilde{R}_{ijkl}+h_{i\alpha k}h_{j\alpha l}-h_{i\alpha l}h_{j\alpha k}.$$

这就是Gauss方程. 从而

$$R_{ik}=\widetilde R_{ik}+nH^\alpha h_{i\alpha k}-h_{i\alpha j}h_{j\alpha k},$$ $$R=\widetilde R+n^2|H|^2-S.$$

对于法向联络$\{\theta_{\alpha\beta}\},$

$$d\theta_{\alpha \beta}-\theta_{\alpha i}\wedge\theta_{i\beta}-\theta_{\alpha \gamma}\wedge\theta_{\gamma\beta}=-\frac{1}{2}\widetilde R_{\alpha\beta kl}\theta_k\wedge\theta_l$$

定义法向曲率张量

$$d\theta_{\alpha\beta}-\theta_{\alpha\gamma}\wedge\theta_{\gamma\beta}=-\frac{1}{2}R_{\alpha\beta kl}\theta_k\wedge\theta_l.$$

同理, 我们有Ricci方程

$$R_{\alpha\beta ij}=\widetilde R_{\alpha\beta ij}+h_{i\alpha k}h_{k\beta j}-h_{j\alpha k}h_{k\beta i}.$$

这只对余维数大于等于$2$的子流形有意义.

最后, 考虑

$$d\theta_{i\alpha}-\theta_{ik}\wedge\theta_{k\alpha}-\theta_{i\beta}\wedge\theta_{\beta\alpha}=-\frac{1}{2}\widetilde R_{i\alpha kl}\theta_k\wedge\theta_l.$$ $$(dh_{i\alpha l}+h_{i\alpha j}\theta_{jl}+h_{k\alpha l}\theta_{ki}+h_{i\beta l}\theta_{\beta \alpha})\wedge\theta_l=-\frac{1}{2}\widetilde{R}_{i\alpha kl}\theta_k\wedge\theta_l.$$ $$(h_{i\alpha l,k}+\frac{1}{2}\widetilde R_{i\alpha kl})\theta_k\wedge\theta_l=0.$$

这就推出了Codazzi方程

$$h_{i\alpha l,k}-h_{i\alpha k,l}=\widetilde R_{i\alpha lk}=\widetilde R_{\alpha ikl}.$$

我们希望$kl$对称, 即$\widetilde R_{\alpha ikl}=0.$ 一个例子是常截面曲率$c$的黎曼流形都如此. 若$N=R^{n+p}(c),$

$$\widetilde R_{ABCD}=c(\delta_{AC}\delta_{BD}-\delta_{AD}\delta_{BC}).$$

此时Codazzi方程, Ricci方程均可简化.

考虑二次协变导数, 我们有

$$h_{i\alpha j,k,l}-h_{i\alpha j,l,k}=h_{m\alpha j}R_{mikl}+h_{i\alpha m}R_{mjkl}+h_{i\beta j} R_{\beta\alpha kl}.$$

类似地, 也可以考虑$H^\alpha$的协变导数.

文章最后更新于 2023-03-16 15:52:33