《微分拓扑》复习笔记(1)-基础知识

浸入, 淹没, 嵌入

浸入, 淹没有着典范表示. 局部常秩映射也有类似的典范表示. 前两者证明方法是标准化$D\widehat f,$ 然后补全维度构造局部微分同胚. 利用这一微分同胚改造坐标系即可.

浸入+同胚=嵌入, 即嵌入子流形的子空间拓扑和诱导拓扑一致. 由浸入的局部表示(与同胚性质), 子流形具有子流形坐标卡, 为切片.

正则值

对于光滑映射$f:M\rightarrow N,$ 若其在$p\in M$为淹没, 则$p$为正则点, 否则为临界点. 临界点的像称为临界值. $N$上不是临界值的点称为正则值. 也就是说, 正则值的原像都要是正则点(淹没), 允许为空集.

定理 1 (正则值原像定理). 设$f:M\rightarrow N$为光滑映射, $q\in N$为$f$的正则值. 那么$f^{-1}(q)$为$(\dim M-\dim N)$维嵌入子流形.

$\,\forall\,p\in f^{-1}(q),$ 由淹没的局部表示, 有坐标邻域$(U,\varphi)\ni p,$ $(V,\psi)\ni q,$ 使得 $\widehat f:\varphi(U)\rightarrow \psi(V)$ 为投影映射, $\varphi(p)=0,$ $\psi(q)=0$. 于是

$$\widehat f^{-1}(0)=\{(0,y)|y\in \mathbb{R}^{\dim M-\dim N}\}=\varphi\circ f^{-1}(q).$$

这就给出了$f^{-1}(q)$作为$(\dim M-\dim N)$维切片的子流形坐标卡$(U\cap f^{-1}(q),{\color{red}\pi_y}\circ \varphi)$.

定理 2 (唱片引理). 设$M,N$为维数相同的光滑流形, $M$紧致. 设$f:M\rightarrow N$为光滑映射. 若$q\in N$为$f$的正则值, 那么$f^{-1}(q)\subset M$为有限点集$\{p_i\}_{i=1}^k$, 且存在$q$在$N$中的开邻域$V,$ 使得$f^{-1}(V)=\bigsqcup_{i=1}^k U_i,$ $p_i\in U_i,$ 且$f|_{U_i}$为微分同胚.

由正则值原像定理, $f^{-1}(q)=\{p_i\}$为 $0$ 维子流形, 有子流形坐标邻域$W_i,$ 两两无交. 由于$M$紧致, 若$\{p_i\}$为无限点集将有聚点, 而聚点处取不到这样的坐标邻域$W_i$. 或$f^{-1}(q)$为闭集, 故紧.

由于$f$既是浸入又是淹没, 为局部微分同胚. 不妨设它在每个$W_i$上为微分同胚. 接下来取

$$V=\bigcap_{i=1}^k f(W_i) \setminus f(M\setminus \bigcup_{i=1}^k W_i).$$

其中$M\setminus \bigcup_{i=1}^k W_i$为闭集, 紧集中闭集是紧的. 从而$f(M\setminus \bigcup_{i=1}^k W_i)$为紧集, 进而为闭集. 于是$V$的确是开邻域, 且$f^{-1}(V)\subset \bigcup_{i=1}^k W_i.$ 由于$f|_{W_i}$为微分同胚, $\,\exists\,U_i{\color{red}{(=f^{-1}(V)\cap W_i)} }\subset W_i,$ 使得$f^{-1}(V)=\bigsqcup_{i=1}^k U_i,$ 且$f|_{U_i}$为微分同胚.

定理 3 (Sard定理). 光滑映射$f:M\rightarrow N$的临界值集为零测集, 几乎处处为正则值(进而稠密).

横截

设$f:M\rightarrow N$为光滑映射, $Z\subset N$为嵌入子流形. 若$\,\forall\,p\in f^{-1}(Z),$

$$df_p(T_pM)+T_{f(p)}Z=T_{f(p)}N,$$

则称$f$与$Z$横截, 记为$f\pitchfork Z.$ 当$Z$为单点集时, $Z$就是$f$的正则值.

特别地, 若$M\subset N$为嵌入子流形, 那么称$M\pitchfork Z$, 若放入映射$\iota:M\rightarrow N$与$Z$横截. 此时有

$$T_pM+T_pZ=T_pN,\quad \,\forall\,p\in M\cap Z.$$

类似地, 也可以定义两映射横截, 此时不见得要求映射为嵌入.

定理 4 (横截原像定理). 设$f:M\rightarrow N$为光滑映射, $Z\subset N$为嵌入子流形. 若$f\pitchfork Z,$ 则$f^{-1}(Z)$为$M$中的嵌入子流形, 且$\operatorname{codim}_M f^{-1}(Z)=\operatorname{codim}_N Z.$

由于$Z$为嵌入子流形, $\,\forall\,q\in Z,$ 有坐标卡$(V,\psi),$ $q\in V,$ 使得$\psi(Z\cap V)\subset \mathbb{R}^{\dim Z}$为切片. 取投影$\pi:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{\operatorname{codim}_N Z},$ 那么$\psi (Z\cap V)=\pi^{-1}(0).$

断言$g:=\pi \circ \psi \circ f:f^{-1}(V)\rightarrow \mathbb{R}^{\operatorname{codim}_NZ}$以$0$为正则值. 只需说明$\,\forall\,p\in f^{-1}(Z)\cap f^{-1}(V)=f^{-1}(Z\cap V),$ $dg_p$为淹没. 由横截性条件,

$$d\psi \circ df_p(T_pM)+ T_{\psi\circ f(p)}\psi(Z)=T_{\psi\circ f(p)}\psi(N)=\mathbb{R}^n,\quad T_{\psi\circ f(p)}\psi(Z)=\mathbb{R}^{\dim Z}.$$

再作用$d\pi=\pi,$ 即有

$$dg_p(T_pM)=d\pi\circ d\psi\circ df_p(T_pM)=\mathbb{R}^{\operatorname{codim}Z}.$$

由正则值原像定理, ${\color{red}{g^{-1}(0)=f^{-1}(Z\cap V)=f^{-1}(Z)\cap f^{-1}(V)} }$为嵌入子流形, 且

$$\dim g^{-1}(0)=\dim M-\operatorname{codim}_NZ,\quad \operatorname{codim}_M (f^{-1}(Z)\cap f^{-1}(V))=\operatorname{codim}_NZ.$$

由$q\in V$的任意性即有$f^{-1}(Z)$为嵌入子流形, 且$\operatorname{codim}_M f^{-1}(Z)=\operatorname{codim}_NZ.$

对子流形横截相交的情形使用横截原像定理, 即有

$$\operatorname{codim}_M (M\cap Z)=\operatorname{codim}_N Z,\quad \operatorname{codim}_N (M\cap Z)=\operatorname{codim}_N M+\operatorname{codim}_N Z.$$

对映射横截相交的情形使用横截原像定理, 可以得到纤维积

$$M \times_N Z:=\{(a,b)\in M\times Z|f(a)=g(b)\}$$

为光滑流形. 证明考虑图像$\Gamma_f,\Gamma_g$与对角流形$\Delta\subset M\times N\times Z\times N,$ 通过说明$(\Gamma_f\times \Gamma_g)\pitchfork \Delta,$ 投影得到结论.

稳定性

若光滑映射$f$的某种性质在任意小扰动光滑同伦$f_t$下保持($t<\varepsilon$), 那么称该性质在扰动下是稳定的.

定理 5. 紧流形$M$上的浸入/淹没$f:M\rightarrow N$是稳定的.

若$f$为浸入, 那么$\,\forall\,p\in M,$ $df_p$中存在$m\times m$阶子式行列式非零. 由连续性, 存在邻域$U_p$以及$\varepsilon_p>0,$ 使得$U_p\times [0,\varepsilon_p]$上, $d(f_t)_q$中同样位置的$m\times m$阶子式行列式仍非零.

取$\bigcup_{i=1}^k U_i$覆盖$M,$ 记$\varepsilon=\min_i\{\varepsilon_i\},$ 那么$f_t$就在$M$上是浸入, $\,\forall\,t\le \varepsilon.$ 从而浸入都是稳定的, 同理淹没也是.

定理 6. $n$维光滑流形$M$的子集$S$是$M$中余维数为$l$的嵌入子流形, 当且仅当$\,\forall\,p\in S,$ $\,\exists\,$淹没$g:U\rightarrow \mathbb{R}^l,$ 使得$p\in U,$ 且$S\cap U=g^{-1}(0).$

$\Rightarrow:$ 只需取子流形坐标卡, 投影到$\mathbb{R}^{\operatorname{codim}S}$即可.

$\Leftarrow:$ 由正则值原像定理立即得到.

推论 7. 设$M$为紧致流形, 若光滑映射$f:M\rightarrow N$与$N$中闭嵌入子流形$Z$横截, 那么横截性在$f$的扰动下稳定.

记$F(x,t)=F_t.$ 由于$F^{-1}(N\setminus Z)$为开集, $(M\setminus f^{-1}(Z))\times \{0\}\subset F^{-1}(N\setminus Z),$ $\,\forall\,p\in M\setminus f^{-1}(Z),$ $\,\exists\,U_p\subset M,$ $I_p=[0,\varepsilon_p),$ 使得$F(U_p\times I_p)\cap Z=\varnothing.$ 于是$\,\forall\,t<\varepsilon_p,$ 在$U_p$上$f_t\pitchfork Z.$

由上一定理, $\,\forall\,q\in Z,$ 存在淹没$g:V\rightarrow \mathbb{R}^{\operatorname{codim}Z},$ 使得$Z\cap V=g^{-1}(0).$ 断言$\,\forall\,p\in f^{-1}(q),$ $g\circ f$也是淹没. 只需说明

$$dg_q\circ df_p(T_pM)=\mathbb{R}^{\operatorname{codim}Z}.$$

而这是因为横截性与淹没性质,

$$df_p(T_pM)+T_qZ=T_qN,\quad dg_p(T_qN)=\mathbb{R}^{\operatorname{codim}Z},\quad dg_q(T_qZ)=0.$$

最后的等式是因为$g(Z\cap V)=0.$

进而, $g\circ f$在$p$点邻域$\overline U_p\subset f^{-1}(V)$上为淹没. 由淹没的稳定性, 存在充分小的$\varepsilon_p>0,$ 使得$g\circ f_t$在$U_p$上仍是淹没, $\,\forall\,t<\varepsilon_p$. 欲证$U_p$上$f_t\pitchfork Z,$ 要求横截性

$$d(f_t)_p(T_pM)+T_{f(p)}Z=T_{f(p)}N,\quad \,\forall\,p\in f^{-1}_t(Z)\cap U_p.$$

而我们有

$$dg\circ d(f_t)_x(T_xM)=\mathbb{R}^{\operatorname{codim}Z},\quad \ker dg_q=T_qZ,\quad \,\forall\,x\in U_p,\quad q\in Z\cap V.$$

这就给出了横截性.

由$M$的紧性, 可以取到开覆盖$M=\bigcup_{i=1}^k U_i,$ $\varepsilon=\min_i\{\varepsilon_i\}.$ 于是$\,\forall\,t<\varepsilon,$ $f_t\pitchfork Z.$ 这就给出了横截的稳定性.

我们有拓扑学中经典引理:

引理 8. 设$f:M\rightarrow N$为单的光滑浸入. 若$M$紧致, 则$f$为光滑嵌入.

利用紧性与Hausdorff性质即可. 接下来有如下稳定性定理:

定理 9. 设$M$为紧致流形, $f:M^n\rightarrow N^n$为光滑嵌入, 则嵌入性在$f$的扰动下稳定.

已知$f$在小扰动下仍为浸入. 由引理, 只需证明$\,\exists\,\varepsilon>0,$ $\,\forall\,t<\varepsilon,$ $f_t$为单射.

不然, 存在$t_i\rightarrow 0,$ $p_i\neq q_i\in M,$ $f_{t_i}(p_i)=f_{t_i}(q_i).$ 由紧性, 存在$p_i\rightarrow p_0,$ $q_i\rightarrow q_0,$ $f(p_0)=f(q_0).$ 由$f$为嵌入, $p_0=q_0=:p.$

记$G(x,t)=(f_t(x),t),$ 那么

$$d_{(p,0)}G=\begin{bmatrix} d_pf&*\\ 0&1 \end{bmatrix}$$

列满秩, 即$G$在$p$点为浸入. 故$G$在$p$点小邻域处为单射. 然而

$$G(p_i,t_i)=(f_t(p_i),t_i)=(f_t(q_i),t_i)=G(q_i,t_i),\quad p_i,q_i\rightarrow p,\quad t_i\rightarrow 0.$$

这就与小邻域矛盾.

定理 10. 设$M$为紧致流形, $f:M\rightarrow N$为微分同胚, 则微分同胚性在$f$的扰动下稳定.

微分同胚为嵌入+满射, 故只需证明满射性在扰动下稳定. 不妨设$N$为连通的, 不然依连通分支讨论即可.

由于淹没在扰动下稳定, $\,\exists\,\varepsilon>0,$ $\,\forall\,t<\varepsilon,$ $f_t$为淹没. 由淹没的典范表示, $f_t$为开映射. 另一方面, 由$f_t$从紧集打到Hausdorff空间, $f_t$也是闭映射. 故$f_t(M)$既开又闭, 为全空间$N.$ 这就证明了结论.

文章最后更新于 2023-06-11 14:37:16