《微分拓扑》复习笔记(3)-带边流形

带边流形

$n$维拓扑带边流形是满足第二可数公理的Hausdorff空间, 且每点有一个邻域同胚于$H^n$的一个开集.

定理 1 (边界的拓扑不变性). $M$是带边拓扑流形, 则$M$上的点不能既是边界点又是内点. 于是$\partial M\cap \operatorname{Int}M=\varnothing,$ $\partial M\cup \operatorname{Int}M=M.$

定理 2 (Brouwer区域不变性定理). 设$U\subset \mathbb{R}^n$为$\mathbb{R}^n$中开集, $f:U\rightarrow \mathbb{R}^n$为单的连续映射, 则$f(U)$是$\mathbb{R}^n$中开集.

定理 3 (边界的微分不变性). 设$M$为光滑带边流形, $p\in M.$ 若存在$M$的光滑坐标卡$(U,\phi)$使$\phi(U)\subset H^n,$ $\phi(p)\in \partial H^n,$ 则任意含$p$的坐标卡都如此.

光滑情形利用逆映射定理即可.

命题 4. 若$M$为$n$维带边流形, 则$\operatorname{Int}M$是$n$维流形, $\partial M$是$(n-1)$维无边流形.

命题 5. 无边流形$M$和带边流形$N$的乘积是带边流形. 并且, $\partial(M\times N)=M\times \partial N,$ $\dim (M\times N)=\dim M+\dim N.$

引理 6. 设 $M$ 是 $m$ 维光滑无边流形, 设 $0$ 是光滑函数 $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ 的正则值. 则 $M_0:=\{p\in M|f(p)\ge 0\}$ 是 $m$ 维带边流形, 且 $\partial M_0=f^{-1}(0).$

$\{p\in M|f(p)>0\}$为开集, 因此是$m$维开子流形, 只需确定边界. 由正则原像定理, $f^{-1}(0)$为$m-1$维嵌入子流形, 有坐标卡$(U,\phi)$使得$U\cap f^{-1}(0)$为切片.

由$f$为淹没, $\frac{\partial {}f}{\partial {}x_m}(p)\neq 0,$ $\,\forall\,p\in f^{-1}(0).$ 不妨设其为正, 那么$\,\forall\,q\in U_p,$ $q\in M_0$当且仅当$x_m(q)\ge 0.$ 于是$U_0:=U\cap M_0$为边界坐标卡.

带边版本定理

定理 7 (正则原像定理带边版本). 设$M$是$m$维光滑带边流形, $N$是$n$维光滑无边流形. 设$f:M\rightarrow N$是光滑映射. 若$q\in N$为$f,\partial f:=f|_{\partial M}$的正则值, 那么$S:=f^{-1}(q)$是$M$的$(m-n)$维子流形, $\partial S=S\cap \partial M.$

只需给出边界处的坐标系, 考虑$M=H^m,$ $N=\mathbb{R}^n,$ $q=0.$ 设$p\in f^{-1}(0)\cap \partial H^m.$ 由$f$光滑, 存在$p$处邻域$U\subset \mathbb{R}^m,$ $F:U\rightarrow \mathbb{R}^n$使得$F|_{U\cap H^m}=f|_{U\cap H^m}.$

由$0$为$\partial f$的正则值, $d(\partial f)_p=dF_p|_{T_x\partial M}$为满射. 设$dF_p|_{\operatorname{span}\{\frac{\partial {} }{\partial {}x_1},\cdots,\frac{\partial {} }{\partial {}x_n}\} }$为同构. 现取$U$上的坐标映射(类似淹没典范映射证明. 不能直接用典范表示的原因是确保边界$\{x_m=0\}$不动).

$$\Phi:U\rightarrow \mathbb{R}^m,\quad \Phi(x)=(F(x),x_{n+1},\cdots,x_m).$$

此时

$$d\Phi_p=\begin{bmatrix} dF_p|_{\operatorname{span}\{\frac{\partial {} }{\partial {}x_1},\cdots,\frac{\partial {} }{\partial {}x_n}\} }&0\\ *&I \end{bmatrix},$$

为同构, 因此由反函数定理, $\Phi$为局部微分同胚, 不妨设$\Phi:U\rightarrow V$为微分同胚.

此时$\Phi:U\cap S\mapsto V\cap (\{0\}\times H^{m-n}).$ 这就给出了$p$处的子流形边界坐标卡.

定理 8 (横截原像定理的带边版本). 设$M$为光滑带边流形, $N$为光滑无边流形. $f:M\rightarrow N$为光滑映射. 设$Z\subset N$为$N$中的无边子流形, 且$f\pitchfork Z,$ $\partial f\pitchfork Z,$ 则$S:=f^{-1}(Z)$为$M$中的带边子流形, 且$\partial (f^{-1}(Z))=f^{-1}(Z)\cap \partial M,$ $\operatorname{codim}_M f^{-1}(Z)=\operatorname{codim}_N Z.$

只需考虑边界处的坐标卡. 考虑$M=H^m,$ $N=\mathbb{R}^n,$ $Z=\mathbb{R}^{\dim Z}.$ 设$p\in f^{-1}(Z)\cap \partial H^m.$ 同上题取光滑映射$F.$

取投影$\pi:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^{\operatorname{codim}Z},$ $Z=\pi^{-1}(0).$ 断言$0$为$\pi\circ F$的正则值. 只需证

$$d\pi\circ dF_p T_xM=\mathbb{R}^{\operatorname{codim}Z}.$$

而这是因为

$$dF_p T_xM+T_{F(x)}Z=\mathbb{R}^n,\quad d\pi (T_{F(x)}Z)=0.$$

同理$0$为$\pi\circ \partial f$的正则值. 从而由正则原像定理带边版本, $f^{-1}\circ \pi^{-1}(0)=f^{-1}(Z)=S$为$M$的$(m-\operatorname{codim}Z)$维子流形, $\partial S=S\cap \partial M,$ $\operatorname{codim}_M f^{-1}(Z)=\operatorname{codim}_N Z.$

定理 9 (带边流形的Sard定理). 设$f:M\rightarrow N$为带边流形$M$到无边流形$N$的光滑映射. $f,\partial f$的公共正则值集在$N$中稠密.

只需说明$f,\partial f$的临界值集零测. $f|_{\operatorname{Int}M},$ $\partial f$已有说明. 只需讨论$p\in \partial M$为$f$的临界点的情形. 然而此时它必是$\partial f$的临界点, 已有讨论. 这就给出了结论.

文章最后更新于 2023-06-11 15:06:16