《微分拓扑》复习笔记(5)-横截

$\varepsilon$-邻域定理

设 $Y^n\hookrightarrow \mathbb{R}^k$ 为 $n$ 维光滑嵌入子流形. $\,\forall\,y\in Y,$ $n$ 维子空间 $T_yY\subset T_y\mathbb{R}^k\cong \mathbb{R}^k$ 决定了一个正交补空间

$$N_y(Y):=\{v\in \mathbb{R}^k|v\perp T_yY\}.$$

称$N(Y):=\{(y,v)\in Y\times \mathbb{R}^k|v\in N_yY\}\subset T\mathbb{R}^k$为$Y$在$\mathbb{R}^k$中的法丛.

命题 1. 设$Y^n\hookrightarrow \mathbb{R}^k$是嵌入子流形. 法丛$N(Y)$是$k$维流形, 且投影$\sigma:N(Y)\rightarrow Y$为淹没.

$\,\forall\,y\in Y,$ 存在$\mathbb{R}^k$中开集$\widetilde U,$ 淹没$\phi:\widetilde U\rightarrow \mathbb{R}^l,$ 使得$U=Y\cap \widetilde U=\phi^{-1}(0).$ 有$N(Y)$中开集

$$N(U):=\{(x,v)\in U\times \mathbb{R}^k|v\in N_xY\}.$$

由 $d\phi_x$ 为满射, $\ker d\phi_x=T_xY,$ $(d\phi_x)^T:\mathbb{R}^l\rightarrow N_xY$ 为线性同构 ($N(A)^\perp=R(A^T)$). 取微分同胚

$$\psi:U\times \mathbb{R}^l\rightarrow N(U),\quad (y,v)\mapsto (y,(d\phi_y)^T(v)).$$

这就给出了$N(Y)$的局部参数化. $\sigma\circ \psi$为标准投影, 因此$\sigma$为淹没.

定理 2 ($\varepsilon$-邻域定理). $\mathbb{R}^k$ 任意光滑嵌入无边子流形$Y$有一个$\varepsilon$-邻域$Y^\varepsilon:=h(V)\subset \mathbb{R}^k,$ 其中$V=\{(y,v)\in N(Y)\mid |v|<\varepsilon(y)\}\subset N(Y)$为开子集, $\varepsilon:Y\rightarrow \mathbb{R}^+$为正连续函数, $h:(y,v)\mapsto y+v$为微分同胚, 且光滑映射$\pi:Y^\varepsilon\rightarrow Y$既是淹没, 又是收缩. 特别的, 当$Y$紧致时$\varepsilon$可取为常数.

$dh_{(y,0)}$为线性同构, 因此$Y$上每点有小邻域使得$h$在其上为微分同胚. 若$Y$紧, 可令小邻域充分小使得有限覆盖构成$\varepsilon$-邻域. $\pi=\sigma\circ h^{-1}$既是淹没, 又是收缩. 若$Y$非紧, 取连续函数

$$\rho(y):=\sup\{\delta\le 1|h_{V_\delta(y)}\text{为微分同胚}\},$$

用$\varepsilon=\frac{\rho}{2}$控制邻域即可.

定理 3 (Whitney逼近定理). 设$X,Y$为光滑流形, $f:X\rightarrow Y$为连续映射. 则$f$同伦于光滑映射$g:X\rightarrow Y.$ 若$f|_A$在闭子集$A\subset X$上光滑, 则同伦可取得在$A$不变.

取$\mathbb{R}^k$上的光滑逼近, 利用管状邻域投影即可.

推论 4 (光滑映射的延拓引理). 设$X,Y$是光滑流形, $A\subset X$为闭子集, $f:A\rightarrow Y$为光滑映射. 则$f$有到$X$的光滑延拓当且仅当$f$有到$X$的连续延拓.

推论 5. 若$X^m$是$m$维光滑流形, $m<n,$ 则连续映射$f:X^m\rightarrow S^n$同伦于常值映射.

参数横截定理

定理 6. 设$F:X\rightarrow Y$为光滑映射, 只有$X$带边. $Z\subset Y$为任意无边嵌入子流形. 若$F\pitchfork Z,$ $\partial F\pitchfork Z,$ 则对几乎所有的$s\in S,$ $f_s\pitchfork Z,$ $\partial f_s\pitchfork Z.$

由横截原像定理, $W:=F^{-1}(Z)$为$X\times S$中的嵌入子流形, 且

$$\partial W=F^{-1}(Z)\cap \partial (X\times S)=F^{-1}(Z)\cap (\partial X\times S).$$

设$\pi:X\times S\rightarrow S$为投影映射, 只需证当$s$为$\pi|_W,\partial (\pi|_W)$正则值时, $f_s,\partial f_s\pitchfork Z.$ 这样由Sard定理得到结论.

若$s$为$\pi|_W$正则值,

$$d\pi_{(x,s)}(T_{(x,s)}W)=T_sS,\quad dF_{(x,s)}(T_{(x,s)}(X\times S))+T_zZ=T_zY.$$

欲证

$$df_s(T_xX)+T_zZ=T_zY.$$

注意到

$$T_{(x,s)}(X\times S)=T_xX\oplus T_sS,\quad dF_{(x,s)}|_{T_xX}=df_s.$$

只需说明$\,\forall\,e\neq 0\in T_sS,$ $\,\exists\,w\in T_xX,$ 使得$dF_{(x,s)}(w,e)\in T_zZ.$ 只需令$(w,e)\in T_{(x,s)}W$即可, 而这由正则性保证. 边界映射同理.

现设$f:X\rightarrow Y$为光滑映射, $Y\hookrightarrow \mathbb{R}^k$有$\varepsilon$邻域. 取单位开球$S\subset \mathbb{R}^k,$ 定义

$$\widetilde F:X\times S\rightarrow \mathbb{R}^k,\quad (x,s)\mapsto f(x)+\varepsilon(f(x))s$$

为淹没, $\partial \widetilde F$也是. 进一步取$F:=\sigma \circ \widetilde F:X\times S\rightarrow Y$满足同样淹没条件. 这样对$Y$中无边嵌入子流形$Z,$ $F,\partial F\pitchfork Z.$ 从而对于几乎所有的$s\in S,$ 有$f_s,\partial f_s\pitchfork Z.$ 由于$f_0=f,$ 这就给出了横截同伦定理.

定理 7 (横截同伦定理). 对任意光滑映射$f:X\rightarrow Y$和嵌入子流形$Z\subset Y,$ $Y,Z$无边. 存在光滑映射$g:X\rightarrow Y,$ 使得$g\sim f,$ $g,\partial g\pitchfork Z.$

横截延拓定理

称$f:X\rightarrow Y$在$A$上与$Z\subset Y$横截, 若

$$df_x(T_xX)+T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y,\quad \,\forall\,x\in A\cap f^{-1}(Z).$$

记为$f\pitchfork_A Z.$

定理 8 (横截延拓定理). 设$Z\subset Y$是$Y$的无边闭子流形, $A\subset X$为闭子集. 设$f:X\rightarrow Y$为光滑映射, $f\pitchfork_A Z,$ $\partial f\pitchfork_{A\cap \partial X} Z.$ 则存在光滑映射$g:X\rightarrow Y,$ 使得$g\sim f,$ $g,\partial g\pitchfork Z,$ 且在$A$的一个邻域上$g=f.$

改造横截同伦定理中的$g,$ 使得在$A$附近保持不变即可. 方法是将$\widetilde F:X\times S\rightarrow \mathbb{R}^k$改造为

$$(x,s)\mapsto f(x)+\varepsilon(f(x))\rho^2(x)s.$$

$\rho(x)$为截断函数. 它的加入使得$A$的小邻域上$F(x,\rho^2(x)s)=F(x,0)=f(x).$

由于$\partial X$为闭子集, 我们有

推论 9. 若$f:X\rightarrow Y$为光滑映射, $Z\subset Y$为无边闭子流形, $\partial f\pitchfork Z,$ 则存在光滑映射$g:X\rightarrow Y$满足$g\sim f,$ $\partial g=\partial f,$ $g\pitchfork Z.$

文章最后更新于 2023-06-12 18:39:59