《微分拓扑》复习笔记(6)-模$2$相交数, 映射度, 环绕数与应用

模$2$相交数

设$Y$的两个子流形$X,Z\subset Y$维数互补, 即$\dim X+\dim Z=\dim Y.$ 此时由横截原像定理,

$$\operatorname{codim}(X\cap Z)=\operatorname{codim}X+\operatorname{codim}Z=\dim Z+\dim X=\dim Y,$$

从而$X\cap Z$为零维嵌入子流形, 在紧流形中为有限点集.

设 $X$ 紧致, $f:X\rightarrow Y$ 为光滑映射, $f\pitchfork Z,$ $Z\subset Y$ 为与 $X$ 维数互补的闭子流形. 那么$f^{-1}(Z)$为$X$的零维闭子流形, 是有限点集. 定义$f$和$Z$的模$2$相交数为

$$I_2(f,Z):=\# f^{-1}(Z)\mod 2.$$

对一般的光滑映射$g:X\rightarrow Y,$ 由横截同伦定理定义即可. 合理性由如下定理保证.

定理 1. 如上假设, 若$f_0\sim f_1$且$f_0,f_1\pitchfork Z,$ 那么$I_2(f_0,Z)=I_2(f_1,Z).$

取光滑同伦 $F:X\times I\rightarrow Y.$ 那么 $\partial F\pitchfork Z.$ 由横截延拓定理, 存在 $G:X\times I\rightarrow Y,$ $G\pitchfork Z$ 且 $\partial G=\partial F.$ 此时 $G^{-1}(Z)$ 为 $1$ 维紧致带边子流形, $\partial G^{-1}(Z)=f_0^{-1}(Z)\cup f_1^{-1}(Z)$ 含偶数个点, 从而 $#_2 f_0^{-1}(Z)=#_2f_1^{-1}(Z).$

推论 2. 模$2$相交数为同伦不变量.

定理 3 (边界定理). 设$W$为紧致流形, $X=\partial W,$ $g:X\rightarrow Y$为光滑映射. 若$g$可以延拓到$W,$ 则$I_2(g,Z)=0,$ $\,\forall\,Z\subset Y$为与$X$维数互补闭子流形.

设 $G$ 为 $g$ 的延拓. 存在 $F\sim G,$ 使得 $F,\partial F\pitchfork Z.$ $F^{-1}(Z)$ 为一维紧致带边子流形, $\partial F^{-1}(Z)$ 含偶数个点, 从而

$$I_2(g,Z)=I_2(\partial F,Z)=0.$$

模$2$映射度

设 $f:X\rightarrow Y$ 为紧流形到连通流形上的光滑映射, $\dim X=\dim Y,$ 那么任取 $y\in Y,$ 定义模 $2$ 映射度为

$$\deg_2f:=I_2(f,\{y\}).$$

它与$y$选取无关. 因为任取$Y$上正则值$y$, 由唱片引理, 存在$\bigsqcup_{i=1}^n U_i= f^{-1}(V),$ $f:U_i\rightarrow V$为微分同胚, 因此对于$y$周围的点,

$$I_2(f,\{z\})\equiv n\mod 2,\quad \,\forall\,z\in V.$$

即模$2$映射度是局部常值的. 由连通性得到良定性.

模$2$映射度自然也是同伦不变量, 且若$X=\partial W,$ $f:X\rightarrow Y$可延拓到$W$上, 那么$\deg_2 f=0.$ 特别地, $\deg_2f\neq 0$给出了不可延拓的障碍, 内部存在奇点. 这可以用来证明奇数次复多项式必有根.

模$2$环绕数

设 $X^{n-1}$ 为 $n-1$ 维紧致连通流形, $f:X\rightarrow \mathbb{R}^n$ 为光滑映射. $\,\forall\,z\notin f(X),$ 定义映射 $u:X\rightarrow S^{n-1}$ 为单位向量 $u(x)=\frac{f(x)-z}{|f(x)-z|}.$ 定义 $f$ 围绕 $z$ 的模 $2$ 环绕数为

$$W_2(f,z):=\deg_2 u.$$

定理 4. 设 $D^n$ 为紧致带边流形, $X=\partial D^n$ 为紧致连通流形, $f:X^{n-1}\rightarrow \mathbb{R}^n$ 为光滑映射. 设 $F:D^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ 为 $f$ 的光滑延拓. 若 $z\notin \operatorname{Im}f$ 为 $F$ 的正则值, 则 $F^{-1}(z)$ 为有限点集, 且 $W_2(f,z)=# F^{-1}(z)\mod 2.$

由于$z$为$F$的正则值, $F^{-1}(z)$为零维嵌入子流形, 是有限点集. 若$z\notin \operatorname{Im}F,$ $u$可延拓, 立即得证; 若$z\in \operatorname{Im}F,$ 由唱片引理得证.

Jordan-Brouwer分离定理

定理 5. 设$X\subset \mathbb{R}^n$为$\mathbb{R}^n$中的紧致光滑连通嵌入超曲面, 则$\mathbb{R}^n\setminus X$由外部$D_0$和内部$D_1$两个连通开集组成, 并且$\overline D_1$为紧致流形, 满足$\partial\overline D_1=X.$

首先证明$\mathbb{R}^n\setminus X$至多有两个连通分支, 接下来利用射线说明

$$D_i:=\{z\mid W_2(\iota_X,z)=i\},\quad i=0,1$$

分别决定了外部和内部即可. 特别的, 构造射线可以轻易看出点在区域内部还是外部.

Borsuk-Ulam定理

定理 6. 设$f:S^k\rightarrow \mathbb{R}^{k+1}\setminus\{0\}$为光滑映射, 且$f(-x)=-f(x),$ $\,\forall\,x\in S^k.$ 则$W_2(f,0)=1.$

该定理可以推出Brouwer不动点定理. 证明将球面上的环绕数与赤道上的环绕数等同起来, 由归纳法得到. 方法是将映射限制在上半球面上, 再对像空间做投影(以使用归纳假设).

推论 7. 若$f:S^k\rightarrow \mathbb{R}^{k+1}\setminus\{0\}$关于原点对称, 则$f$与任意过原点的直线至少相交一次.

定理 8. 设$f_1,\cdots,f_k$为$S^k$上的$k$个关于原点对称的光滑函数, 它们必有公共零点.

考虑$f(x)=(f_1(x),\cdots,f_k(x),0),$ 应用推论即可,

定理 9. 对$S^k$上任意$k$个光滑函数$g_1,\cdots,g_k,$ 必存在$p\in S^k,$ 使得$g_i(p)=g_i(-p).$

人为构造对称函数$f_i(x)=g_i(x)-g_i(-x).$

文章最后更新于 2023-06-13 12:34:42