《微分拓扑》复习笔记(7)-定向与定向相交数

定向

向量空间的定向由有序基决定. 由此可定义矩阵的保(反)定向. 称流形可定向, 若$\,\forall\,x\in X,$ 有坐标卡$(U,\phi)$使得$\,\forall\,y\in U,$ $d\phi_y: T_yX\rightarrow \mathbb{R}^k$保定向.

命题 1. 连通可定向流形有且仅有两个定向.

$X\times Y$的乘积定向由$T_xX+T_yY$的直和定向决定. 具体的, 决定定向的有序基为$\{(\alpha,0),(0,\beta)\},$ $\alpha,\beta$分别为$T_xX$和$T_yY$的有序基.

带边流形在边界处的定向可由流形诱导. 具体的, 令边界处有序基$\beta$的符号由$\{n,\beta\}$决定, $n$为外法向量.

设$f:X\rightarrow Y$为光滑映射, $f,\partial f\pitchfork Z.$ $X,Y,Z$为定向流形, $Y,Z$无边. 记$S:=f^{-1}(Z)$为嵌入子流形, 欲取定逆像定向.

由$T_xS^\perp\oplus T_xS=T_xX,$ 可通过直和定向决定其定向. 先取$T_xS^\perp$定向. 由横截性,

$$df_x(T_xX)+T_zZ=T_zY,\quad df_x(T_xS^\perp) \oplus T_zZ=T_zY.$$

设$df_x$保定向, 即$T_xS^\perp$定向通过$df_x(T_xS^\perp)$由直和定向决定的定向诱导.

此时$\partial S=\partial (f^{-1}(Z))=(\partial f)^{-1}(Z)$有两种定向方式. 一种是逆像定向, 考虑

$$T_x \partial S^\perp\oplus T_x\partial S=T_x\partial X,\quad d\partial f_x(T_x\partial S^\perp)\oplus T_zZ=T_zY.$$

注意到$T_xS^\perp=T_x\partial S^\perp,$ 这两个定向是一致的. 取其正定向有序基$\alpha,$ 那么

$$\operatorname{sgn}(\beta)=\operatorname{sgn}(\alpha,\beta)=\operatorname{sgn}(n,\alpha,\beta).$$

$n$为$\partial S$在$S$中的外法向量. 另一种是边界定向. 取定$T_x\partial S$上的有序基$\beta,$ 那么 $\operatorname{sgn}(\beta)=\operatorname{sgn}(n,\beta)$ 在$T_xS$中的符号决定, 即

$$\operatorname{sgn}(\beta)=\operatorname{sgn}(n,\beta)=\operatorname{sgn}(\alpha,n,\beta).$$

由于$\alpha$是$T_xS^\perp$的有序基, 维数为$\operatorname{codim}_XS=\operatorname{codim}_YZ.$ 因此这两种定向也差了$(-1)^{\operatorname{codim}_YZ}.$

定向相交数

基本假设同模$2$相交数. 额外假设所有流形都是可定向的. $df_x(T_xX)$的定向由$X$赋予. 若$df_x(T_xX)\oplus T_zZ=T_zY$两侧定向定向一致, 则记$x$处的定向数为$\operatorname{sgn}_x(f,Z)=1,$ 不然为$-1.$ 称定向数的和为$f$与$Z$的定向相交数, 记为

$$I(f,Z):=\sum_{x\in f^{-1}(Z)}\operatorname{sgn}_x(f,Z).$$

由于任意紧致定向$1$维带边流形的边界点定向数之和为$0,$ 同模$2$相交数可证明定向相交数为同伦不变量. 因此对一般的映射可通过横截同伦定理给出定义. 同理我们还有

命题 2. 若$X=\partial W,$ $W$紧致, $f:X\rightarrow Y$可延拓到$W,$ $Z\subset Y$为闭子流形, 则$I(f,Z)=0.$

若$\dim X=\dim Y,$ 则可定义$\deg f:=I(f,\{y\}),$ $y$在$Y$中任意选取. 良定性由横截同伦定理与唱片引理得证. 此时若$y$为$f$的正则值, 有$\deg f=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\operatorname{sgn}_x(f,y),$ $\operatorname{sgn}_x(f,y)=1,$ 若$df_x$保定向. 反之为$-1.$ 映射度也是同伦不变量, 且对于可从边界延拓到内部的函数, 映射度为零.

用映射度就可以给出代数学基本定理的证明了, 和模$2$相交数一致. 同时在紧区域边界处可用$\deg \frac{p}{|p|}$来数内部零点个数.

接下来讨论映射间的定向相交数. 设$f:X\rightarrow Y,$ $g:Z\rightarrow Y.$ 若$f\pitchfork g,$ 可定义$I_{(x,z)}(f,g),$ 正负号由$df_x(T_xX)\oplus dg_z(T_zZ)=T_yY$左右两侧定向决定.

命题 3. $f\pitchfork g$当且仅当$f\times g\pitchfork \Delta,$ 且$I(f,g)=(-1)^{\dim Z}I(f\times g,\Delta).$

这主要就是如下的引理

引理 4. 设$U,W$为$V$的定向子空间, 那么$U\oplus W=V$当且仅当$(U\times W)\oplus \Delta=(-1)^{\dim W}V\times V.$

这样就可以用横截同伦定理对一般的函数给出定义了. 此时可说明$I(f,Z)=I(f,\iota_Z),$ 特别的$\deg f=I(f,\{y\})$与$y$选取无关可给出新的证明. 比较直和定向有:

命题 5. $I(f,g)=(-1)^{\dim X\dim Z}I(g,f),$ $I(X,Z)=(-1)^{\dim X\dim Z}I(Z,X).$

特别的, 若$Z=X,$ 奇数维流形自相交数$I(X,X)=0.$ 若$X$为紧致定向流形, 定义其欧拉示性数为$\chi(Y):=I(\Delta,\Delta).$ 因此它是同伦不变量.

推论 6. 奇数维紧致可定向流形欧拉示性数为$0.$

文章最后更新于 2023-06-13 12:33:48