《微分拓扑》复习笔记(8)-定向相交数应用

Lefschetz不动点理论

为了计数不动点$x=f(x),$ 只需数$\Delta\cap G(f)$的交点个数. 由此定义$f$的整体Lefschetz数为$L(f):=I(\Delta,G(f)).$ 它是同伦不变量.

定理 1. 设$f$为紧致定向流形$X$的光滑自映射. 若$L(f)\neq 0,$ 则$f$有不动点.

推论 2. 若映射同伦于常值映射, 则$L(f)=\pm $

由此可推出Brouwer不动点定理.

称光滑映射$f:X\rightarrow X$为Lefschetz映射, 若$\Delta\pitchfork G(f).$ 由于$G(\mathrm{id})=\Delta,$ $L(\mathrm{id})=\chi(X).$ 若$\mathrm{id}$同伦于无不动点映射, 则$\chi(X)=0.$ 特别地对于非零欧拉示性数的流形, 无不动点映射必不同伦于恒同映射.

命题 3. 任意光滑映射$f$同伦于一个Lefschetz映射.

重复横截同伦定理的证明即可. 不能直接使用是因为要得到图像的横截.

从横截性条件来看, $f$是Lefschetz映射当且仅当$df_x$不以$1$为特征值. 可定义局部Lefschetz数$L_x(f)=1,$ 若$T_{(x,x)}\Delta+T_{(x,x)}G(f)=T_{x,x}(X\times X).$ 定向不匹配为$-1.$ 此时$L(f)=\sum_{f(x)=x}L_x(f).$

命题 4. $L_x(f)=\operatorname{sgn}\det(df_x-I).$

由此可通过构造同伦于恒同映射的Lefschetz映射来计算欧拉示性数.

对于非Lefschetz映射, 我们有

命题 5 (分裂命题). 设$U$为映射$f$的不动点$x$处邻域, 且$U$中不含其它不动点. 那么存在同伦映射$f_t$使得$f_1$在$U$中仅含Lefschetz不动点, 且在$U$的某个紧集外同伦保持不变.

取局部小扰动 $f_t(x)=f(x)-t\rho(x) a$ 即可. 特别地, 令扰动 $a$ 为 $f(x)-x$ 的正则值, 即有 $\det df_x-I\neq 0.$

设$x$为$f$的孤立不动点. 若$B$为以$x$为球心的小闭球, 且不含其它不动点, 则

$$F:\partial B\rightarrow S^{k-1},\quad z\mapsto \frac{f(z)-z}{|f(z)-z|}$$

为光滑映射. 称$\deg F$为$f$在$x$处的局部Lefschetz数, 记为$L_x(f).$ 定义与$B$选取无关.

命题 6. 在Lefschetz不动点, 关于Lefschetz不动点和孤立不动点的局部Lefschetz数定义一致.

只需利用线性同痕引理, 令$F\sim F_0$为标准保定向/反定向函数即可.

命题 7. 设$f:\mathbb{R}^k\rightarrow \mathbb{R}^k$有孤立不动点$x$, 设$B$为以$x$为球心的不含$f$其它不动点的闭球. 选取满足分裂命题的函数$f_1\sim f,$ 那么$L_x(f)=\sum_{f_1(z)=z}L_z(f_1),$ $z\in B.$

前述说明都是在欧氏空间上进行的, 容易搬到流形上说明. 定义与坐标卡选取无关.

定理 8 (Lefschetz数的局部计算). 设$f:X\rightarrow X$为紧定向流形$X$上的光滑自映射, 且$f$只有有限个不动点. 则$f$的整体Lefschetz数等于局部Lefschetz数之和, 即

$$L(f)=\sum_{f(x)=x}L_x(f)$$

Poincaré-Hopf 定理

对$\mathbb{R}^k$中向量场$v,$ 在$x=0$处有一个孤立零点. 取充分小开球$B_\varepsilon$不包含其它零点, 定义指标

$$\operatorname{Ind}_0(v):=\deg \left(\partial B_\varepsilon\rightarrow S^{k-1},x\mapsto \frac{v(x)}{|v(x)|}\right)=W(v,0)$$

定理 9 (Poincaré-Hopf 定理). $\sum_{v(x)=0} \operatorname{Ind}_x(v)=\chi(X).$

只需利用管状邻域构造向量场的积分曲线, 定义映射$f_t\sim \mathrm{id},$ 说明

$$\chi(X)=L(\mathrm{id})=L(f_t)=\sum_{f_t(z)=z} L_{z}f_t=\sum_{v(x)=0} \operatorname{Ind}_x(v).$$

由于

$$L_z(f_t)=\deg \frac{f_t(z)-z}{|f_t(z)-z|},$$

对$f_t(z)$做Taylor展开, 线性近似得到结论.

Hopf 映射度定理

定理 10. $f_0,f_1:X^k\rightarrow S^k$同伦当且仅当$\deg f_0=\deg f_1.$

设$f:X^k\rightarrow \mathbb{R}^{k+1},$ 定义环绕数

$$W(f,z):=\deg (u:X^k\rightarrow S^k,x\mapsto \frac{f(x)-z}{|f(x)-z|}),\quad z\notin \operatorname{Im}f.$$

命题 11. 设$x$为正则点, $f(x)=z.$ 令$B$为以$x$为心的充分小闭球. 记$\partial f=f|_{\partial B}:\partial B\rightarrow \mathbb{R}^k,$ 则$W(\partial f,z)=1,$ 若$df_x$保定向. 反之为$-1.$

证明和Lefschetz不动点类似.

命题 12. 设$f:B\rightarrow \mathbb{R}^k$为闭球上的光滑映射, $z$为正则值, $f^{-1}(z)\cap \partial B=\varnothing.$ 那么按定向计数有$# f^{-1}(z)=W(\partial f,z).$

证明利用唱片引理即可.

命题 13. 设$B$为$\mathbb{R}^k$中闭球, $f:\mathbb{R}^k\setminus \operatorname{Int}B\rightarrow Y$为光滑映射. 若$\partial f:\partial B\rightarrow Y$同伦于常值映射, 则$f$可延拓为光滑映射$\mathbb{R}^k\rightarrow Y.$

证明利用Whitney逼近定理.

对于Hopf映射度定理, 首先证明映射度为零的情形. 对维数进行归纳证明.

定理 14 (延拓定理). 设$W$是$k+1$维紧致连通定向带边流形, $f:\partial W\rightarrow S^k$为光滑映射, 则$f$可延拓为$F:W\rightarrow S^k$当且仅当$\deg f=0.$

命题 15. 设$W$是任意紧致带边流形, $f:\partial W\rightarrow \mathbb{R}^{k+1}$为任意光滑映射, 则$f$可延拓到整个$W$上.

现对于任意映射度相同的$f_0,f_1,$ 将其定义在$X^k\times I$上, 延拓给出同伦.

定理 16. 紧致连通定向流形$X$上有处处非零的向量场当且仅当$\chi(X)=0.$

文章最后更新于 2023-06-13 12:33:59