循环群上热核

Heat kernels on cyclic groups - Anders Karlsson and Markus Neuhauser

图上热核

令$X$为图, $N(x)$为$x$的全体邻居, $X$上的组合Laplacian定义为

$$\Delta f(x)=f(x)-\frac{1}{|N(x)|} \sum_{y\in N(x)}f(y).$$

热方程为

$$\left(\Delta +\frac{\partial {} }{\partial {}t}\right)f(t,x)=0.$$

热核$K^X(t,x)$即为热方程的基本解, 满足$K^X(0,x)=\delta_0(x),$ 基点$0\in X.$

若$X$为有限图, 那么Laplacian为对称阵, 有实特征值$0=\lambda_0\le \lambda_1\le \cdots\le \lambda_{m-1},$ 对应正规特征向量$\varphi_0,\varphi_1,\cdots,\varphi_{m-1}.$ 我们可以将$\delta_0$用基表示:

$$\delta_0=\sum_{j=0}^{m-1}\overline{\varphi_j(0)}\varphi_j.$$

那么热核就等于

$$K^X(t,x)=e^{-t\Delta}\delta_0(x)=\sum_{j=0}^{m-1}e^{-\lambda_jt}\varphi_j(x)\overline{\varphi_j(0)}.$$

改进Bessel函数

对于整数$x\ge 0,$ $z\in\mathbb{C},$ 第一类改进Bessel函数为

$$I_x(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(z/2)^{x+2k} }{k!(x+k)!}=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos \theta}\cos x\theta d\theta.$$

对于$x<0,$ 令$I_x=I_{-x}.$ 它是微分方程

$$z^2\frac{d {}^2w}{d {}z^2}+z\frac{d {}w}{d {}z}-(z^2+x^2)w=0$$

的解, 与经典$J$-Bessel函数的关系是

$$I_x(z)=e^{-\pi ix/2}J_x(z e^{\pi i/2}).$$

$I_x$满足的一个重要的性质是

$$I_{x+1}+I_{x-1}=2I_x',\quad \,\forall\,x\in \mathbb{Z}.$$

在$t$充分大时, 我们有渐进估计

$$I_v(t)\sim \frac{e^t}{\sqrt{2\pi t} }\left(1-\frac{4\nu^2-1}{8t}\right).$$

$\mathbb{Z}$上热核

$\mathbb{Z}$上Laplacian由

$$\Delta f(x)=f(x)-\frac{1}{2}(f(x+1)+f(x-1)),\quad x\in\mathbb{Z}$$

给出. 我们可以通过Fourier变换(关于$x$变量)的方法给出基本解

$$K^\mathbb{Z}(t,x)=(-1)^x\sum_{n=|x|}^\infty \frac{(-t/2)^n}{n!}\binom{2n}{n-x},$$

事实上后面将给出

$$K^\mathbb{Z}(t,x)=e^{-t}I_x(t).$$

我们可以直接验证$e^{-t}I_x(t)$为热核.

$$\begin{aligned} \left(\Delta+\frac{\partial {} }{\partial {}t}\right)e^{-t}I_x(t)&= e^{-t}\left(I_x(t)-\frac{1}{2}(I_{x+1}(t)+I_{x-1}(t))-I_x(t)+I_x'(t)\right)=0. \end{aligned}$$

$e^{-t}I_x(t)$是$\mathbb{R}$上热核(Gaussian)$\frac{1}{\sqrt{4\pi t} }e^{-\frac{x^2}{4t} }$的类比, 有渐进估计

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi t} }\left(1-\frac{4x^2-1}{8t}\right).$$

$\mathbb{Z}_m$上热核

$\mathbb{Z}_m$上的Laplacian和$\mathbb{Z}$上一致, 取等价类即可. 取函数族$\{\chi_j\}$为

$$\chi_j(x):=e^{2\pi ijx/m},\quad j=0,1,\cdots,m-1.$$

$\chi_j$满足$\chi_j(x+y)=\chi_j(x)\chi_j(y).$ 从而

$$\Delta \chi=\left(1-\frac{1}{2}(\chi(1)+\chi(-1))\right)\chi.$$

这意味着$\chi_j$为特征值$\lambda_j=1-\cos(2\pi j/m)$对应的特征函数. 进而

$$e^{-t\Delta}\chi_j=e^{-t(1-\cos(2\pi j/m))}\chi_j=e^{-2\sin^2(\pi j/m)t}\chi_j.$$

由正交性,

$$\delta_y=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \overline{\chi_j(y)}\chi_j.$$

从而热核为

$$K^{\mathbb{Z}_m}(t,x):=e^{-t\Delta}\delta_0(x)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}e^{-2\sin^2(\pi j/m)t}e^{2\pi ijx/m}.$$

Theta反演公式

考虑函数

$$e^{-t}\sum_{k=-\infty}^\infty I_{x+km}(t),$$

它是$\mathbb{Z}$上的周期函数, 可以诱导$\mathbb{Z}_m$上的函数. 这对所有$t$收敛, 因为对于$x\ge 0,$

$$\left|\sum_{k=0}^\infty I_{x+km}(t)\right|\le \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{|t/2|^{x+km+2n} }{n!(x+km+n)!}\le \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{|t/2|^{k+n} }{n!k!}\le e^{|t|}.$$

于是该函数也是$\mathbb{Z}_m$上的热核. 由热核唯一性, 我们有

$$e^{-t}\sum_{k=-\infty}^\infty I_{x+km}(t)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}e^{-2\sin^2(\pi j/m)t}e^{2\pi ijx/m}.$$

另一方面, 我们也可以由如下两引理直接证明, 将右边视为左边以$x$为自变量的Fourier展开即可.

引理 1. 函数$\omega\mapsto e^{-2\sin^2(\omega/2)t}$的第$x$个Fourier系数有级数表示$(-1)^x\sum_{n=|x|}^\infty \frac{(-t/2)^n}{n!}\binom{2n}{n-x},$ 等于$e^{-t}I_x(t)$.

直接计算即可, 利用展开

$$e^{-2\sin^2(\omega/2)t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2t)^n}{n!}\sin^{2n}(\omega/2),$$ $$\sin^{2n}(\omega/2)=\left(\frac{1}{2i}(e^{i\omega/2}-e^{-i\omega/2})\right)^{2n}=(2i)^{-2n}\sum_{y=0}^{2n}\binom{2n}{y}(-1)^ye^{i\omega(n-y)}.$$

这样可得到第$x$个Fourier系数为

$$(-1)^x\sum_{n=|x|}^\infty \frac{(-t/2)^n}{n!}\binom{2n}{n-x}.$$

由于

$$e^{-2\sin^2(\omega/2)t}=e^{-t}e^{t\cos\omega},$$

第$x$个Fourier系数又有表示

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-t}e^{t\cos \omega}e^{-i\omega x}d\omega=\frac{e^{-t} }{\pi}\int_0^\pi e^{t\cos\omega}\cos(\omega x)d\omega=e^{-t}I_x(t).$$

这就给出了引理.

引理 2. 函数$x\mapsto \sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^{x+km}\sum_{n=|x+km|}^\infty \frac{(-t/2)^n}{n!}\binom{2n}{n-x-km}$的第$j$个Fourier系数为$e^{-2t\sin^2(\pi j/m)}.$

直接计算$\sum_{x=0}^{m-1}\bullet \cdot e^{-2\pi ijx/m}$即可.

这样就给出了Fourier展开

$$e^{-t}\sum_{k=-\infty}^\infty I_{x+km}(t)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}e^{-2\sin^2(\pi j/m)t}e^{2\pi ijx/m}.$$

这类似于反演公式. 当然也有如下常用的表示

$$\sum_{k=-\infty}^\infty I_{x+km}(t)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}e^{\cos(2\pi j/m)z+2\pi ijx/m},\quad z\in \mathbb{C},\quad x,m\in\mathbb{Z},\quad m>0.$$

通过取特殊情况求导($x=0,$ $t=0,$ $n$阶导), 我们还有

推论 3. $\sum_{j=0}^{m-1}\cos^n(2\pi j/m)=\frac{m}{2^n}\sum_{l\in L(n,m)}\binom{n}{l},$ 其中$L(n,m)$为$l\in \mathbb{Z},$ 满足$0\le l\le n$且$l=\frac{n-mq}{2},$ $q\in\mathbb{Z}.$ 特别的, 若$n$为奇数, $m$为偶数, 那么$L(n,m)=\varnothing,$ 和取零.

当$n=2,$ $m\ge 3$时, 我们有

$$\sum_{j=0}^{m-1}\cos^2(2\pi j/m)=\frac{m}{2}.$$

文章最后更新于 2023-09-05 15:47:41