音乐同构

定义

音乐同构(musical isomorphism), 又称典范(canonical)同构, 指黎曼流形切丛和余切丛间的同构, 由黎曼度量给出.

黎曼度量$g=g_{ij}dx^i\otimes dx^j$是一个正定二阶的张量场, 每点有映射

$$\widehat g_x:T_xM\rightarrow T_x^\ast M,$$

使得

$$\widehat g_x(X)(Y)=\left<{}X,Y\right>.$$

这给出了微分同胚$\widehat g:TM\rightarrow T^\ast M.$

若$X=X^i\partial_i,$ 那么计算得到

$$\widehat g(X)=g_{ij}X^j\partial_i.$$

由正定性, 它是一个同构. 上述同构称为降号音乐同构(flat), 记为$\widehat g(X)=X^\flat,$ 表示指标$X^i$下降为下标$g_{ij}X^j.$ 逆运算自然称作升号音乐同构(sharp), 记为$\widehat g^{-1}(\omega)=\omega^\sharp,$ 将指标$\omega_i$升为上标$g^{ij}\omega_j.$

应用

使用音乐同构可以更简洁地表示一些公式, 如对于一般的向量丛$(E,\nabla,h)$, 计算联络$\nabla:\Gamma(M,E)\rightarrow\Gamma(M,E\otimes T^\ast M)$关于$L^2$内积对偶$\nabla^\ast $的表达式.

对于紧支撑的$f\in\Gamma(M,E),$ $\omega\in \Gamma(M,E\otimes T^\ast M),$ 设$\nabla f=f_i\otimes dx^i,$ 那么

$$\left<{}\nabla f,\omega\right>=\int_M g\otimes h (\nabla f,\omega) d\mathrm{vol}_g=\int_M g^{ij}h(f_i,\omega_j)d\mathrm{vol}_g,\quad \omega=\omega_j \otimes dx^j,$$

希望得到$\left<{}f,\nabla^\ast \omega\right>=\int_M h(f,\nabla^\ast \omega)d\mathrm{vol}_g$的形式, 因此要利用联络与度量的相容性,

$$\begin{aligned} LHS&=\int_M g^{ij} \partial_i h(f,\omega_j) - g^{ij}h(f,\nabla_{\partial_i}\omega_j)d\mathrm{vol}_g\\ &=\int_M (dx^j)^\sharp h(f,\omega_j)-h(f,\nabla_{(dx^j)^\sharp}\omega_j)d\mathrm{vol}_g\\ &=\int_M \operatorname{div}(h(f,\omega_j)(dx^j)^\sharp)-h(f,(\operatorname{div}(dx^j)^\sharp+\nabla_{(dx^j)^\sharp})\omega_j)d\mathrm{vol}_g\\ &=\int_M h(f,\nabla^*\omega)d\mathrm{vol}_g=\left<{}f,\nabla^*\omega\right>. \end{aligned}$$

由于等式对所有$f$对, 这就用音乐同构给出了$\nabla^\ast $的表达式. 用降号来表示, 就是对于$\omega=u\otimes X^\flat,$

$$\nabla^\ast \omega=-\operatorname{div}(X)\omega-\nabla_X\omega.$$

过程中用到的散度$\operatorname{div}:T_xM\rightarrow \mathbb{R}$指

$$\operatorname{div}X=\left<{}\nabla_{\partial_i}X,\partial_i\right>=\partial_iX^i+\Gamma_{ij}^iX^j,$$

满足

$$\operatorname{div}(fX)=Xf+f\operatorname{div}X.$$

文章最后更新于 2023-10-30 20:56:03