道路同调(2)

$\Omega_2$结构

给定有向图$G=(V,E),$ $\mathcal{A}_p=\left<{}e_{i_0\cdots i_p}:i_0\rightarrow\cdots\rightarrow i_p\right>_\mathbb{K},$ 为由准许基本$p$-道路张成的空间. 记$\Omega_p=\left<{}v\in \mathcal{A}_p:\partial v\in \mathcal{A}_{p-1}\right>,$ 那么$(\Omega_\ast ,\partial)$构成$G$的道路链复形.

我们知道有$\Omega_0=\mathcal{A}_0,$ $\Omega_1=\mathcal{A}_1,$ 但之后只能保证$\Omega_2\subset \mathcal{A}_2,$ $\cdots.$ 称$(x,y)$为半有向边若其不是有向边且$x\neq y$, 但存在中转点$z$使得$x\rightarrow z\rightarrow y.$ 记为$x\rightharpoonup y.$

定理 1. $|\Omega_2|=|\mathcal{A}_2|-s,$ $s$为半有向边个数. 事实上$\Omega_2$由全体三角形, 正方形, 双箭头生成.

设$v=\sum_{a\rightarrow b\rightarrow c}v^{abc}e_{abc}\in \mathcal{A}_2,$ 那么

$$\partial v=\sum_{a\rightarrow b\rightarrow c} v^{abc}(e_{bc}-e_{ac}+e_{ab})\equiv-\sum_{a\rightarrow b\rightarrow c} v^{abc}e_{ac}\mod \mathcal{A}_1.$$

若$a\rightarrow c$那么显然$\partial v\in \mathcal{A}_1,$ 此时为三角形; 若$a=c$更显然, 此时为双箭头; 若$a\rightharpoonup c,$ 那么只需$\sum_{b:a\rightarrow b\rightarrow c} v^{abc}=0,$ 即有$\partial v\in \mathcal{A}_1,$ 这对应于若干正方形($v^{ab_1c}=1,$ $v^{ab_2c}=-1,$ 其它为零)的线性组合. 共有$s$个这样的约束, 因此$|\Omega_2|=|\mathcal{A}_2|-s.$

若半有向边$a\rightharpoonup c$有$m+1$个中转点$b_i,$ 称它们构成一个$m$-正方形. 此时这部分构成的有向图满足$|\Omega_2|=m,$ $|\mathcal{A}_2|=m+1,$ 半有向边只有一条$a\rightharpoonup c.$

有向图同态

对于有向图$X,Y$, 称$f:X\rightarrow Y$为有向图同态(映射), 若对于任意$X$中的$a\rightarrow b,$ 在$Y$中要么有$f(a)\rightarrow f(b),$ 要么有$f(a)=f(b).$

给定这样的同态, 有诱导映射$f_\ast :\Lambda_n(X)\rightarrow \Lambda_n(Y),$ $f_\ast (e_{i_0\cdots i_n}):=e_{f(i_0)\cdots f(i_n)}.$

命题 2. 令$f:X\rightarrow Y$为有向图间的同态, 那么$f_\ast $延拓为链映射$f_\ast :\Omega_n(X)\rightarrow \Omega_n(Y),$ 进而$f_\ast :H_n(X)\rightarrow H_n(Y).$

只需注意到$f_\ast $将非正则基本道路映为非正则基本道路, 取模后将准许基本道路映为准许基本道路(可能被模掉为零). 同时显然有$\partial f_\ast =f_\ast \partial.$

正方形通过有向图同态可以变成三角形或双箭头.

有向多边形

设$G$为嵌入在$S^1$上的一个$n$边形, 每个有向边$\xi$定义$\sigma^\xi=\pm 1,$ 取正若有向边为逆时针方向, 反之为负. $\sigma=\sum_\xi \sigma^\xi e_\xi \in \mathcal{A}_1.$

引理 3. 我们有$\partial \sigma=0,$ 进而$\sigma\in \Omega_$ 进一步, $\ker \sigma|_{\Omega_1}=\left<{}\sigma\right>.$

$\,\forall\,v\in \mathcal{A}_1,$ $v=\sum_\xi v^\xi e_\xi.$ $\partial v=\sum_{k=0}^{n-1} c_ke_k.$

设$(k-1)\xrightarrow{\xi} k\xrightarrow{\eta} (k+1),$ 那么$c_k=v^{\xi}\sigma^\xi - v^\eta \sigma^\eta.$ 于是$c_k=0$当且仅当$v^\xi \sigma^\xi=v^\eta \sigma^\eta,$ 而$v^\xi=\sigma^\xi$构成解的基底.

命题 4. 令$P$为$n$边形, 若$P$为三角形或正方形, 那么$|\Omega_2|=1,$ $|\Omega_p|=0,$ $p\ge 3,$ $|H_p|=0,$ $p\ge 1;$ 不然, $|\Omega_p|=0,$ $\,\forall\,p\ge 2,$ $|H_1|=1,$ $|H_p|=0,$ $p\ge 2.$

文章最后更新于 2024-02-28 16:15:26