道路同调(3)

有向图的连接

增广链复形

对于链复形

$$0\xleftarrow{\partial}\Lambda_0\xleftarrow{\partial}\Lambda_1\leftarrow\cdots,$$

我们考虑

$$0\xleftarrow{\partial} \mathbb{K}\xleftarrow{\partial}\Lambda_0\xleftarrow \Lambda_1\leftarrow\cdots,\quad \Lambda_{-1}:=\mathbb{K},$$

其中$\partial e_i:=e,$ 为$\mathbb{K}$的单位元. 此时的同调群记为$\widetilde H_p,$ 称为约化同调群. 除了$\widetilde H_0=H_0/\mathbb{K},$ 模掉一个$\mathbb{K}$外, 其它同调群不变, 即$\widetilde H_p=H_p,$ $\,\forall\,p\ge 1,$ $\widetilde H_{-1}=\{0\}.$

记$\widetilde\beta_p=|\widetilde H_p|$为约化Betti数, 那么$\widetilde\beta_0=0$当且仅当$G$是连通的.

道路的连接

若$u=e_{i_0\cdots i_p},v=e_{j_0\cdots j_q}$分别是$X,Y$中的两条道路, 记其连接$u\ast v=e_{i_0\cdots i_p j_0\cdots j_q},$ 为$X\sqcup Y$中的道路. 做线性扩展, 我们有

$$\ast :\Lambda_p(X)\times \Lambda_q(Y)\rightarrow \Lambda_{p+q+1}(X\sqcup Y).$$

引理 1. $\partial (u\ast v)=(\partial u)\ast v+(-1)^{p+1}u\ast \partial v,$ $u\in \Lambda_p(X).$

有向图的连接

有向图$Z:=X\ast Y$的点集由$X\sqcup Y$组成, 将所有$X$中的点连接到$Y$中的点, 即$x\rightarrow y,$ $\,\forall\,x\in X,$ $y\in Y.$ 这样就保证了$\mathcal{A}_p(X)\ast \mathcal{A}_q(Y)\subset \mathcal{A}_{p+q+1}(X\ast Y).$

引理 2. $\Omega_p(X)\ast \Omega_q(Y)\subset \Omega_{p+q+1}(X\ast Y),$ 对于约化同调群有同样的结论.

定理 3 (Künneth公式). $\,\forall\,p,q,r\ge -1,$ 我们有$\Omega_r(Z)= \bigoplus_{p+q+1=r}\Omega_p(X)\ast \Omega_q(Y).$ 进而$\widetilde H_r(Z)=\bigoplus_{p+q+1=r} \widetilde H_p(X)\ast \widetilde H_q(Y),$ $\widetilde\beta_r(Z)=\sum_{p+q+1=r} \widetilde\beta_p(X)\widetilde\beta_q(Y).$

借助这个公式, 我们可以得到对于有向图$X,$ 锥体$X\ast \{\bullet\}$是零调的, 双锥$X\ast \{\bullet,\bullet\}$的$r$-约化Betti数恰好是$X$的$r-1$-约化Betti数. 由此可以凭借$S^0=\{\bullet,\bullet\},$ 不断做双锥得到任意维球面$S^n,$ 满足$\widetilde\beta_n(S^n)=1$是唯一非平凡的约化Betti数.

文章最后更新于 2024-03-04 15:10:35