道路同调(4)

准备工作

定义$\left<{}e_{i_0\cdots i_p},e_{j_0\cdots j_q}\right>=\delta_{J}^I,$ 由此扩展到全体正则道路$\mathcal{R}_\ast =\bigoplus_{p\ge -1} \mathcal{R}_p$上的配对. 我们记大写字母表示基本道路, 花体字母表示任意道路, 即由基本道路张成的各类空间.

引理 1. $\,\forall\,u,\varphi\in \mathcal{R}_\ast (X),$ $v,\psi\in \mathcal{R}_\ast (Y),$ $\left<{}u\ast v,\varphi\ast \psi\right>=\left<{}u,\varphi\right>\left<{}v,\psi\right>.$

这是因为$u\ast v$和$\varphi\ast \psi$相同当且仅当它们分别相同.

引理 2. $\,\forall\,w\in \Omega_\ast (Z),$ $w=\sum_{x\in A(X)}e_x\ast a^x=\sum_{y\in A(Y)}\ell^y\ast e_y,$ $a^x\in \Omega_\ast (Y),$ $\ell^y\in \Omega_\ast (X).$

注意到$\,\forall\,w\in \mathcal{A}_\ast (Z),$ $w=\sum\limits_{\begin{subarray}{c} x\in A(X)\\ y\in A(Y) \end{subarray} } c^{xy}e_x*e_y,$ 只需说明当$w\in \Omega_\ast (Z)$时, $a^x=\sum_{y\in A(Y)}c^{xy}e_y\in \Omega_\ast (Y).$

记$\partial e_x=\sum_{x’\in R(X)}\varepsilon^x_{x’}e_{x’},$ 那么

$$\begin{aligned} \partial w&=\sum\limits_{\begin{subarray}{c} x\in A(X)\\ x'\in R(X) \end{subarray} } \varepsilon^x_{x'} e_{x'} *a^x+\sigma_x e^x*\partial a^x\\ &=\sum_{x,x'\in A(X)}e_x*(\varepsilon_{x}^{x'}a^{x'}+\sigma_x\partial a^x)+\sum_{x\in R(X)\setminus A(X)}\varepsilon_x^{x'} e_x*a^{x'}. \end{aligned}$$

当$\partial w\in \mathcal{A}_*(Z)$时, 后一项和消失. 记$\widetilde a^x=\sum_{x’\in A(X)}\varepsilon_x^{x’}a^x+\sigma_x\partial a^x,$ 它必须是准许的. 那么做差即可得到$\partial a^x\in \mathcal{A}_\ast (Y).$

记$\Omega_p^{\perp}=\{u\in \mathcal{A}_p:\left<{}u,v\right>=0,\,\forall\,v\in \Omega_p\}.$

引理 3. $\Omega_p^\perp(X)\ast A_q(Y),A_p(X)\ast \Omega_q^\perp(Y)\subset \Omega_r^\perp(X\ast Y),$ $r=p+q+1.$

利用引理$1$即可.

主要定理

定理 4. $\,\forall\,w\in \Omega_r(Z),$ $w=\sum_j u_j\ast v_j,$ $u_j\in \Omega_{p_j}(X),$ $v_j\in \Omega_{q_j}(Y),$ $p_j+q_j+1=r.$

已知$A_r(Z)=\sum_{p+q+1=r}A_p(X)\ast A_q(Y).$ 记$\Omega_r’(Z)=\sum_{p+q+1=r} \Omega_p(X)\ast \Omega_q(Y),$ 希望证明$\Omega_r’(Z)=\Omega_r(Z).$ 显然$\Omega_r’(Z)\subset \Omega_r(Z).$

$\,\forall\,u\in A_\ast (Z),$ 有分解$u=u_\Omega+u_\perp.$ $u\ast v=u_\Omega\ast v_\Omega+(\cdots),$ 括号内的部分都在$\Omega_r^\perp(Z)$中, 前一部分在$\Omega_r’(Z)$中.

于是若$u\ast v\in\Omega_r(Z)$中, 立即有$u\ast v=u_\Omega\ast v_\Omega\in \Omega_r’(Z).$ 这就证明了结论.

赋予合适的代数结构, 我们就得到了

定理 5. $\Omega_\ast (Z)\cong \bigoplus \Omega_\ast (X)\otimes \Omega_\ast (Y).$

文章最后更新于 2024-03-08 10:52:13