道路同调(5)

乘积空间

对于$X,Y$中的$p,q$道路$e_x,e_y,$ 希望定义$e_x\times e_y\in Z=X\times Y.$ 称正则道路$z=z_0\cdots z_r$是阶梯型的, 若$\,\forall\,k=0,\cdots,r-1,$ $a_k=a_{k+1}$或$b_k=b_{k+1}.$

令$x=\{x_i\}$为$z$在$X$上的投影, 缩并重复的点. $y$同理. 记$z_k=(x_i,y_j)\mapsto (i,j)\in\mathbb{Z}^2.$ $z$对应了一条$\mathbb{Z}^2$中的折线$S(z).$ 记$L(z)$为$S(z)$下方的方块个数. 记$\prod_{x,y}$为$Z$中所有的阶梯型道路$z.$

定义 1. 给定$X,Y$中的正则道路$x,y,$ 定义$e_x\times e_y:=\sum_{z\in \prod_{x,y} } (-1)^{L(z)}e_z.$ 这样便可以将$\times$延拓到全体$\mathcal{R}_p(X),\mathcal{R}_q(Y)$中, 使得$u\times v\in\mathcal{R}_{p+q}(Z).$

引理 2. 若$u\in\mathcal{R}_p(X),$ $v\in \mathcal{R}_q(Y),$ 那么$\partial(u\times v)=\partial u\times v+(-1)^p u\times \partial v.$

阶梯型道路拐角处取$\partial$会消掉部分项, 只剩水平与垂直道路, 分别构成了等号后的两部分.

回忆对于$u,u’\in \mathcal{R}_\ast (X),$ $\left<{}u,u’\right>=\sum_{x\in R(X)} u^x(u’)^x.$

引理 3. 若$u\in\mathcal{R}_p(X),$ $\varphi\in \mathcal{R}_{p’}(X),$ $v\in \mathcal{R}_q(Y),$ $\psi\in \mathcal{R}_{q’}(Y),$ 那么$\left<{}u\times v,\varphi\times \psi\right>=\binom{p+q}{p}\left<{}u,\varphi\right>\left<{}v,\psi\right>.$

令$X,Y$为有向图, 定义$Z=X\square Y$为以$X\times Y$为顶点的(最小)有向图, 使得所有阶梯型道路都是准许的, 若其在$X,Y$中的投影都是准许的.

引理 4. $\Omega_p(X)\times \Omega_q(Y)\subset \Omega_r(Z),$ 且$\times$延拓到同调群上.

引理 5. $\,\forall\,w\in \Omega_\ast (Z),$ 存在唯一表示$w=\sum_{\begin{subarray}{c} x\in A(X)\\ y\in A(Y) \end{subarray} }c^{xy}e_x\times e_y.$

引理 6. $w\in \Omega_\ast (Z)$有表示$w=\sum_{x\in A(X)}e_x\times a^x,$ $a^x\in \Omega_\ast (Y),$ $w\in \sum_{y\in A(Y)}\ell^y\times e_y,$ $\ell^y\in\Omega_\ast (X).$

引理 7. $r=p+q,$ $u\in\Omega_p^\perp(X),$ $y\in \mathcal{A}_q(Y),$ $u\times v\in \Omega_r^\perp (Z).$

定理 8. $\,\forall\,w\in\Omega_r(Z),$ 有表示$w=\sum u_i\times v_i,$ $u_i\in \Omega_{p_i}(X),$ $v_i\in \Omega_{q_i}(Y),$ $p_i+q_i=r.$

定理 9 (Künneth formula). $\Omega_\ast (X\square Y)\cong \Omega_\ast (X)\otimes \Omega_\ast (Y),$ $\otimes\mapsto \times.$ 进而同调群也有同样的表示.

文章最后更新于 2024-11-04 17:38:36