道路同调(6)

准备工作

引理 1. 若$u\in\mathcal{R}_p(X),$ $\varphi\in \mathcal{R}_{p’}(X),$ $v\in \mathcal{R}_q(Y),$ $\psi\in\mathcal{R}_{q’}(Y),$ 则 $\left<{}u\times v,\varphi\times \psi\right>=\binom{p+q}{p}\left<{}u,\varphi\right>\left<{}v,\psi\right>.$

注意到$(u\times v)^z=(-1)^{L(z)}u^xv^y,$ 其中$x,y$为$z$的投影, $z\in S(z),$ 所有阶梯型道路构成的集合. 接下来考虑内积即可.

引理 2. $\,\forall\,w\in \Omega_\ast (Z),$ $w=\sum_{\begin{subarray}{c} x\in A(X)\\ y\in A(Y) \end{subarray} }c^{xy}e_x\times e_y.$

注意对于道路的连接, 连接空间里的准许道路都是准许道路的连接, 但乘积空间中不一定, 需要$\partial$-不变才可以.

注意到对于两个只差一个拐角的道路, 为了求边界后仍然准许, 它们的系数应该是相反数. 因此所有$\Omega_\ast (Z)$中的道路都是形如$e_x\times e_y$的组合. 特别的, 可以直接写出$c^{xy}=(-1)^{L(z)}w^z,$ 这与$z$选取无关.

引理 3. $\,\forall\,w\in \Omega_\ast (z),$ 存在表示$w=\sum_{x\in A(X)}e_x\times a^x,$ $a^x\in \Omega_\ast (Y),$ 以及$w=\sum_{y\in A(Y)}\ell^y\times e_y,$ $\ell^y\in \Omega_\ast (X).$

引理 4. $u\in \Omega_p^\perp(X),$ $v\in \mathcal{A}_q(Y),$ $u\times v\in \Omega_r^\perp(Z).$

定理 5. $\Omega_\ast (X\square Y)\cong \Omega_\ast (X)\otimes \Omega_\ast (Y),$ $\otimes \mapsto \times.$ 同调群也对.

文章最后更新于 2024-11-04 17:39:01