道路同调(7)
DreamAR

Hodge-Laplacian

由内积$\left<{}e_x,e_y\right>=\delta_{xy}$, 我们可诱导链复形上$\partial$的对偶$\partial^\ast ,$ 使得

我们可以定义$\Delta_p=\partial^\ast \partial+\partial\partial^\ast ,$ 称为$p$-形式上的Hodge-Laplacian.

命题 1. $\Delta_p$是自伴半正定算子.

令$B$为$\partial:\Omega_p\rightarrow \Omega_{p-1}$的表示矩阵, 即

那么$\partial^\ast \partial$的表示矩阵是$B^TB.$ 类似的, 令$C$为$\partial^\ast :\Omega_p\rightarrow \Omega_{p+1}$的表示矩阵, 那么$\partial\partial^\ast $的表示矩阵为$C^TC.$ 对于$\Delta_p,$ 我们有

特别的, 我们有

等式前两项构成度数矩阵, 后两项构成邻接矩阵.

类似的, 对于$\Delta_1,$ 下Laplacian $\partial^\ast \partial$有表示

衡量了两个边的连接情况.

问题: 当$\Delta_1=\diag\{\lambda\}$时, $G$是什么样的图?

文章最后更新于 2024-11-04 17:39:11

  • 本文标题:道路同调(7)
  • 本文作者:DreamAR
  • 创建时间:2024-11-04 17:39:08
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