道路同调(8)

谱分析

我们关心$\operatorname{Spec}\Delta_p,$ 特别是其是否有零特征值: $\Delta_pu=0.$ 这样的$u$被称为调和的.

引理 1. $u\in \Omega_p$是调和的当且仅当$\partial u,\partial^\ast u=0.$

只需注意到有

$$0=\left<{}\Delta_p,u\right>=\Vert\partial u\Vert^2+\Vert\partial^\ast u\Vert^2.$$

定理 2 (Hodge decomposition). 我们有$\Omega_p=\partial \Omega_{p+1}\oplus \partial^\ast \Omega_{p-1}\oplus \mathcal{H}_p,$ 这里$\mathcal{H}_p$是全体$p$调和形式, 直和为正交和.

只需注意到$\,\forall\,w\in \partial^\ast \Omega_{p-1}^\perp,$ $\partial w=0;$ 另一边类似, 即可.

推论 3. 我们有$\mathcal{H}_p\cong H_p.$ 特别的, $0\in\operatorname{Spec}\Delta_p\Leftrightarrow \beta_p>0,$ 且零特征值的重数为$\beta_p.$

迹分析

$\operatorname{tr}\Delta_0=2E,$ $E$为有向边的个数.

定理 4. *记$T,S,D$分别为三角形, 正方形(线性无关), 双箭头的个数, 那么

$$\operatorname{tr}\Delta_1=2E+3T+2S+4D.$$

• 对于一个$m$-正方形, 正交化后的基形如

  $$\begin{aligned} \omega_1&=e_{ab_0c}-e_{ab_1c},\\ \omega_2&=e_{ab_0c}+e_{ab_1c}-2e_{ab_2c},\\ \cdots. \end{aligned}$$

我们关心$\Delta_1$的谱, 特别是其没有零特征值的情形.

命题 5. $\lambda_{\max}(\Delta_0)\le 2\max_{i\in V}\deg(i).$

利用 $\lambda_{\max}(\Delta_0)=\max \frac{\Vert\partial^\ast u\Vert^2}{\Vert u\Vert^2}$ 即可.

定理 6. *若$G$不含多重正方形, 无双箭头, 那么

$$\lambda_{\max}(\Delta_1)\le 2\max_i\deg(i)+3\max_{i\rightarrow j} \deg_\Delta(ij)+2\max_{i\rightarrow j}\deg_{\square}(ij).$$

• 文章最后更新于 2024-11-04 17:39:19