Dirichlet特征值的区域连续性

Continuous Dependence of Eigenvalues on the Domain - Ivo Babuska, Rudolf Vyborny, Praha

Dirichlet特征值和特征函数关于区域是连续变动的, 这里本文以内部逼近为例, 证明特征值的逼近.

基本定义

令 $m>n$ 为非负整数, $a_{ij},b_{ij}$ 为 $\mathbb{R}_r$ 上的有界可测函数. $G$ 为 $\mathbb{R}_r$ 中的有界开集, $\mathscr{D}(G)$ 为 $G$ 上的紧支撑光滑函数. 对 $\mathscr{D}(G)$ 中的函数定义如下内积:

$$(\varphi,\psi)_{k}=\sum_{|i|=k} \int_{\mathbb{R}_r} D^i\varphi D^i\psi dx,\quad k=m,n;$$ $$\{\varphi,\psi\} = \sum_{|i|=|j|=m} \int_{\mathbb{R}_r} a_{ij}D^i\varphi D^j\psi dx;$$ $$[\varphi,\psi] = \sum_{|i|=|j|=n} \int_{\mathbb{R}_r} b_{ij} D^i\varphi D^j\psi dx.$$

并利用对应的模分别完备化为 $\mathring W_2^k, H_m,H_n.$ 取 $m=1,n=0, a=b=\delta_{ij}$ 的情形, 即有 $\mathring W_2^1=H_1$ 为一阶齐次模, 是标准 Laplacian 对应的 Dirichlet 形式; $\mathring W_2^0=H_0=L^2.$ 该文章给出了极为一般情形的证明.

在此表示下, 特征值问题即为寻找特征对 $(\lambda,u),$ 使得

$$\{u,\varphi\}=\lambda [u,\varphi],\quad \,\forall\,\varphi\in \mathscr{D}(G).$$

将特征值排序为

$$0<\lambda_1\le \lambda_2\le\lambda_3\le\cdots.$$

记对应的特征函数为 $u_k,$ 它们在 $H_m$ 中完备. 利用变分方法, 有

$$\lambda_k=\inf_{\begin{subarray}{c} u\perp U_{k-1}\\u\neq 0 \end{subarray} } \frac{\{u,u\} }{[u,u]}.$$

其中正交取 $[-,-]$ 内积, $U_{k-1}=\operatorname{span}\{u_1,\cdots,u_{k-1}\}.$ 进一步, 令 $E_k$ 为 $H_m$ 中的 $k$ 维子空间, 那么

$$\lambda_k=\sup_{E_{k-1} }\inf_{\begin{subarray}{c} u\perp E_{k-1}\\ u\neq 0 \end{subarray} } \frac{\{u,u\} }{[u,u]}.$$

另一种自然的表示方式是

$$\lambda_k=\inf_{E_k}\sup_{\begin{subarray}{c} u\in E_k\\u\neq 0 \end{subarray} } \frac{\{u,u\} }{[u,u]}$$

注: Courant-Fischer 极小极大原理.

改造正交基

引理 1. 令 $p$ 为正整数, $A>0.$ $\,\exists\,M$ 只依赖于 $p,A,$ 使得若有

$$u_t\in H_m,\quad [u_t,u_s]=\delta_{ts},\quad \Vert u_t\Vert_m\le A,\quad t,s=1,2,\cdots,p,$$

以及对于充分小的 $\varepsilon>0$, 有

$$y_s\in H_m,\quad \Vert u_s-y_s\Vert_m<\varepsilon,\quad s=1,\cdots,p,$$

则存在 $v_s\in H_m,$ $s=1,\cdots,p,$ 使得 $\{v_s\}$ 是 $\{y_s\}$ 的线性组合, 且

$$[v_t,v_s]=\delta_{ts},\quad \Vert u_t-v_t\Vert_m<M\varepsilon,\quad t=1,2,\cdots,p.$$

利用Schmidt正交化, 通过归纳法, 分析模长即可.

特别的, 对于 $H_m$ 中的函数, 我们可以通过 $\mathscr{D}(G)$ 中的函数来逼近, 因此存在邻近的一组光滑紧支撑正交基.

引理 2. 令 $\{u_t\}$ 为 $H_m$ 中的一组单位特征正交基, 那么存在邻近的光滑紧支撑单位正交基 $\{\psi_t\},$ 使得

$$\{\psi_t,\psi_s\}=\delta_{ts}\lambda_s+O(\varepsilon).$$

特征值逼近

利用上一引理即可给出内部逼近时特征值也逼近的证明.

定理 3. 若 $G^1\subset\cdots\subset G^k\subset \cdots \subset G,$ 且 $G\subset \bigcup_{k=1}^\infty G^k,$ 则 $\lambda_p^k\rightarrow \lambda_p.$

首先由变分方法, $\lambda_p\le \cdots\le \lambda_p^k\le\cdots\le \lambda_p^1.$ 因此有 $\lim_{k\rightarrow \infty} \lambda_p^k=\widetilde\lambda\ge \lambda_p.$ 只需证明反过来的不等式.

取前述引理中的 $\{\psi_t\},$ 那么由于每个函数具紧支集, 对于充分大的 $k$, 它也是 $\mathscr{D}(G^k)$ 中的函数. 此时有

$$\frac{\{\psi,\psi\} }{[\psi,\psi]} \le \lambda_p + O(\varepsilon),\quad \,\forall\,\psi\in \operatorname{span}\{\psi_1,\cdots,\psi_p\}.$$

从而

$$\lambda_p^k\le \lambda_p +O(\varepsilon)\quad\Rightarrow\quad \widetilde\lambda_p\le \lambda_p.$$

事实上, 还有特征函数的逼近, 以及外部逼近的版本, 在此不做过多介绍.

https://math.stackexchange.com/questions/830849/eigenfunctions-of-the-laplace-beltrami-operator-of-a-torus

文章最后更新于 2024-11-04 17:44:37