对于
考虑 的特征函数 断言
为 对应的特征函数,
于是对应特征值为
由Stone-Weierstrass定理, 特征函数张成的子空间在连续函数空间中稠密.
从而这就是全体的特征函数了.
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环面上的Laplacian
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循环群上热核
Heat kernels on cyclic groups - Anders Karlsson and Markus Neuhauser 图上热核令 为图, 为 的全体邻居, 上的组合Laplacian定义为 热方程为 热核 即为热方程... -
Jacobi Theta函数
格点上的Poisson求和对充分好的函数, 我们有Fourier变换 命题 1 (Parseval恒等式). 考虑周期函数 可以视作 上的函数, 有Fourier展开 从而 命题得证. 一般的, 对于任意 维实向量空间,... -
《微分拓扑》复习笔记(8)-定向相交数应用
Lefschetz不动点理论为了计数不动点 只需数 的交点个数. 由此定义 的整体Lefschetz数为 它是同伦不变量. 定理 1. 设 为紧致定向流形 的光滑自映射. 若 则 有不动点. 推论 2. 若映射同伦于常值映射, 则 由此可... -
《微分拓扑》复习笔记(7)-定向与定向相交数
定向向量空间的定向由有序基决定. 由此可定义矩阵的保(反)定向. 称流形可定向, 若 有坐标卡 使得 保定向. 命题 1. 连通可定向流形有且仅有两个定向. 的乘积定向由 的直和定向决定. 具体的, 决定定向的有序基为 分别为 和 的有... -
《微分拓扑》复习笔记(6)-模$2$相交数, 映射度, 环绕数与应用
模 相交数设 的两个子流形 维数互补, 即 此时由横截原像定理, 从而 为零维嵌入子流形, 在紧流形中为有限点集. 设 紧致, 为光滑映射, 为与 维数互补的闭子流形. 那么 为 的零维闭子流形, 是有限点集. 定义 和 的... -
《微分拓扑》复习笔记(5)-横截
-邻域定理设 为 维光滑嵌入子流形. 维子空间 决定了一个正交补空间 称 为 在 中的法丛. 命题 1. 设 是嵌入子流形. 法丛 是 维流形, 且投影 为淹没. 存在 中开集 淹没 使得 有 中开集 由 ... -
《微分拓扑》复习笔记(4)-Brouwer不动点定理
Brouwer不动点定理引理 1. 设 为紧致光滑带边流形, 则不存在保持边界的光滑映射 不然, 由Sard定理, 存在 为 维紧致带边子流形, 有偶数个端点. 而 矛盾. 引理 2. 设 为光滑映射, 则存在不动点 不然, 取 使... -
《微分拓扑》复习笔记(3)-带边流形
带边流形 维拓扑带边流形是满足第二可数公理的Hausdorff空间, 且每点有一个邻域同胚于 的一个开集. 定理 1 (边界的拓扑不变性). 是带边拓扑流形, 则 上的点不能既是边界点又是内点. 于是 定理 2 (Brouwer区域不变性定... -
《微分拓扑》复习笔记(2)-Sard定理与Morse函数
Sard定理定理 1. 光滑映射 的临界值集合为 中的零测集. 注 2. Sard定理对 映射 成立, 注意临界点集未必零测. 推论 3. 光滑映射 的正则值在 中稠密. 且同时为可列个光滑映射正则值的点也稠密. 证明由如下步骤组成: 引理...