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模$2$相交数设$Y$的两个子流形$X,Z\subset Y$维数互补, 即$\dim X+\dim Z=\dim Y.$
此时由横截原像定理,
\operatorname{codim}(X\cap Z)=\operatorname{codim}X...
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$\varepsilon$-邻域定理设 $Y^n\hookrightarrow \mathbb{R}^k$ 为 $n$ 维光滑嵌入子流形.
$\,\forall\,y\in Y,$ $n$ 维子空间
$T_yY\subset T_y\mathbb{R...
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Brouwer不动点定理引理 1. 设$M$为紧致光滑带边流形, 则不存在保持边界的光滑映射$f:M\rightarrow \partial M.$
不然, 由Sard定理, 存在$f^{-1}(q)$为$1$维紧致带边子流形, 有偶数个端点. 而...
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带边流形$n$维拓扑带边流形是满足第二可数公理的Hausdorff空间,
且每点有一个邻域同胚于$H^n$的一个开集.
定理 1 (边界的拓扑不变性). $M$是带边拓扑流形, 则$M$上的点不能既是边界点又是内点. 于是$\partial M\ca...
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Sard定理定理 1. 光滑映射$f:M\rightarrow N$的临界值集合为$N$中的零测集.
注 2. Sard定理对$C^k$映射$f:M^m\rightarrow N^n$成立, $k\ge \max\{1,m-n+1\}.$ 注意临界...
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浸入, 淹没, 嵌入浸入, 淹没有着典范表示. 局部常秩映射也有类似的典范表示.
前两者证明方法是标准化$D\widehat f,$ 然后补全维度构造局部微分同胚.
利用这一微分同胚改造坐标系即可.
浸入+同胚=嵌入, 即嵌入子流形的子空间拓扑和诱导...
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Schur定理若$R_{AB}=c\delta_{AB},$ 则称$M$为Einstein流形.
定理 1 (Schur). 若$R_{AB}=\lambda \delta_{AB},$ 那么$M$也是Einstein流形.
曲率回忆有
d\om...
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常平均曲率极小子流形设
Q=q(dz)^2,\quad q=\lambda^2 \widehat H,\quad \widehat H=\frac{1}{2}(h_{11}-h_{22})-ih_{12}.那么$q$就是想要的全纯形式.
h\le...
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记号记空间形式$R^{n+p}(c)$为$n+p$维黎曼流形, 具常截面曲率$c$. 我们知道,
R^{n+p}(c)=\begin{cases}
E^{n+p},&c=0\\
S^{n+p},&c=1,\quad x_1^2+\cdots+x...
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记号略. 参考辜联崑《二阶抛物型偏微分方程》.
抛物方程在仿射变换$x=Ay$下还是抛物方程.
弱极值原理设$u\in C_p^2,$ $\Delta_x u-u_t>0.$ 假设$u$在$P(D)$内取极大值,
那么在极值点$\Delta_x...