梦之居
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  • 《PDE2》笔记-Galerkin逼近

    动机考虑问题 \left\{\begin{aligned} u_t-\Delta u=0&\quad in\:\Omega_T\\ u=0&\quad on\:\partial\Omega\\ u|_{t=0}=h&\quad in\:\O...
     2022-12-08  
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  • 《代数拓扑2》笔记(23)-$S_I$示性类

    回顾对于对称多项式$S=\mathbb{Z}[t_1,\cdots,t_n]^{S_n},$ $S^k$为$k$次对称多项式, 它有两种基的选取, $\{\sigma_I\}$或$\{m_I\},$ $I$为$k$-划分. $m_I=S_I(\sig...
     2022-12-08  
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  • 《PDE2》笔记-抽象函数

    为了研究发展方程, 我们需要引入新的概念. 以热方程为例. 设$\Omega\subset \mathbb{R}^n,$ 记$\Omega_T=\Omega\times (0,T].$ u\in L^p(\Omega_T)\Leftrightarr...
     2022-12-02  
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  • 《PDE2》笔记-特征值问题

    考虑自共轭算子$S:H_0^1(\Omega)\rightarrow H^{-1}(\Omega),$ Su:=-(a^{ij}u_i+b^ju)_j+b^ju_j+cu. 系数均在$L^\infty(\Omega)$中, $a^{ij}\xi_i...
     2022-12-02  
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  • 《代数拓扑2》笔记(22)-Pontrjagin数

    Pontrjagin数对于实流形$M^{4n},$ 为一个定向闭流形, $I=(i_1,\cdots,i_r)$为$n$的划分. 定义第$I$个Pontrjagin数为 P_I[M^{4n}]=\left\in \mathbb{Z}.注 1. 记$...
     2022-12-02  
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  • 《代数拓扑2》笔记(21)-Pontrjagin示性类

    Pontrjagin类回顾实向量丛$\xi$可以复化为$\xi\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C},$ 与它的共轭丛同构. 定义第$i$个Pontrjagin示性类为 p_i(\xi):=(-1)^ic_{2i}(\xi\oti...
     2022-12-01  
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  • 《代数拓扑2》笔记(20)-主丛应用(科普)

    引子固定$F$为拓扑空间, 取$G=\operatorname{Homeo}(F).$ (紧开拓扑.) 我们有 \{F\rightarrow E\rightarrow B\}/\cong\leftrightarrow \{G\rightarrow ...
     2022-11-23  
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  • 《代数拓扑2》笔记(19)-结构群

    回顾回忆若$G$是一个拓扑群, 有分类空间$BG,$ 使得有$G$主丛: G\rightarrow EG\rightarrow BG,即$G$在$EG$上有一个依纤维自由可迁的作用. $EG$弱可缩. 命题 1. 设有拓扑群间连续映射$f:H\ri...
     2022-11-18  
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  • 《代数拓扑2》笔记(18)-分类空间

    主(Principal)$G$-丛$G$为拓扑群. 一个主$G$-丛是一个局部平凡的纤维丛$\pi:P\rightarrow B,$ 在总空间上有一个连续的右作用$P\times G\rightarrow P,$ 使得$G$在每根纤维上的作用是自由可...
     2022-11-17  
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  • 《代数拓扑2》笔记(17)-障碍性理论

    示性类与障碍性理论回顾定理 1. 假设$F\rightarrow E\rightarrow B$为纤维丛, $F$是$n$-simple的, $B$为CW复形. 令$s$为$B^{n-1}$上的截面, 可以被延拓到$B^n$上. 那么$s$可以被延拓...
     2022-11-14  
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