《微分流形》第二章-切丛(1)

切空间

回忆我们可以定义$C^\infty$曲线$C:(a,b)\rightarrow M,$ $C(t_0)=p.$ $C_p^\infty$表示$M$上在$p$点$C^\infty$的函数全体, 即其中元素均是点$p$某邻域上的光滑函数. $C_p^\infty$上函数可做运算, 但是仅能在公共邻域上做运算. 曲线$C(t)$在点$p$处”切向量”指方向导数算子$X:C_p^\infty\rightarrow \mathbb{R},$ $X(f)=\frac{df\circ c(t)}{dt}|_{t=t_0},$ 满足:

(1) $X(af+bg)=aX(f)+bX(g);$

(2) $X(fg)=X(f)g(p)+f(p)X(g).$

令$T_pM:=\{X\text{是过}p\text{的曲线的切向量}\},$ 称为$M$在$p$处的切空间. $\widetilde{T}_pM:=\{\widetilde X:C_p^\infty\rightarrow \mathbb{R}\text{满足(1),(2)}\}.$ 那么有$T_pM\subset \widetilde{T}_pM.$ $\widetilde{T}_pM$可引入加法, 数乘使之成为向量空间.

回忆对坐标卡$(U,\varphi),$ $\varphi$是流形间的光滑同胚. 对$\varphi^{-1},$ 仅让$x^i$变化, 即得光滑曲线$\varphi^{-1}(\cdots,x^i,\cdots),$ 称为$x^i$-曲线. 过每点$q\in U$有$m$条坐标曲线.

用$\left(\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}\right)_p$表示$x_i$-曲线在$p$处切向量$X_i,$ $X_i(f)=\frac{d}{dx^i}[f\circ \varphi^{-1}(\cdots, x^i,\cdots)]_{\varphi(p)}=[\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}(f\circ\varphi^{-1})]_{\varphi(p)}.$ $f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow \mathbb{R}.$ 从而$\left(\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}\right)_p\in T_pM,$ $1\le i\le m.$

命题 1.1. $T_pM$是$m$维向量空间. $\{X_i\}$构成$T_pM$的一组基.

证: 任取$X\in T_pM,$ $C:(a,b)\rightarrow M,$ $C(t_0)=p.$ $C’(t_0)=X.$ $\varphi\circ C(t)=(x^i(t))$称为参数方程. 由定义, $X(f)=\frac{d}{dt}[f\circ C(t)]|_{t=t_0}=\frac{d}{dt}[(f\circ\varphi^{-1})(\varphi\circ C(t))]|_{t_0}=\sum_{i=1}^m \frac{dx^i(t)}{dt}|_{t_0}\cdot [\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}(f\circ \varphi^{-1})]_{\varphi(p)}.$ 记$a^i=\frac{d x^i}{dt}|_{t_0},$ 那么$X(f)=\sum_{i=1}^m a^i X_i(f),$ 从而$X=\sum_{i=1}^m a^i X_i.$

任给$\sum_{i=1}^m b^i X_i,$ 要找$C(t)$过$p$点使$\frac{dx^i(t)}{dt}|_{t_0}=b^i.$ 设$\varphi(p)=(d^i),$ 取$x^i(t)=d^i+b^i(t-t_0),$ $C(t)=\varphi^{-1}(x^i(t))$即可. 那么$C’(t_0)=\sum_i b^iX_i.$ 进而即可说明$T_pM$是向量空间.

只需再说明$\{X_i\}$线性无关. 设$\sum_{i=1}^m a^i X_i=0,$ 取$m$个只沿$x^i$方向增长的$f=x^i:=\pi^i\circ \varphi$试探, 即可说明$a^i\equiv 0.$ 从而$T_pM$为$m$维向量空间.

注 1.2. 事实上, 有$T_pM=\widetilde{T}_pM.$

之前提到$C_p^\infty$中零元素不唯一, 因此并非向量空间. 为此可以定义等价关系$f\sim g$ $\Leftrightarrow$ $\,\exists\,p$点邻域$W,$ $f|_W=g|_W.$ 商空间$\mathcal{F}_p^\infty=C_p^\infty/\sim$为向量空间, 称为函数芽空间. 其上有诱导的$X:\mathcal{F}_p^\infty\rightarrow \mathbb{R},$ 即$X([f]):=X(f),$ $f:=f(p).$ 它同样满足类似(1),(2)的性质.

余切空间

设$V$为$m$维向量空间, $V^\ast =\{\text{linear }\omega:V\rightarrow \mathbb{R}\}$亦为$m$维向量空间, 以对偶基为基. 对$m$维光滑流形$M^m,$ $T_pM$为切空间, $T_p^\ast M$表示其对偶空间, 称为$M$在$p$处余切空间.

$X\in T_pM,$ $f\in C_p^\infty$有方向导数$X(f).$ 考虑固定$f$令$X$变化, 记$\omega_f(X)=X(f),$ 那么$\omega_f:T_pM\rightarrow \mathbb{R}$为线性函数, 在$T_p^\ast M$中. 记$\omega_f$为$(df)_p,$ 称为$f$在$p$点的微分. 任取含$p$坐标系$(U,\varphi),$ 那么$\{(dx^i)_p\}\in T_p^\ast M,$ 为$\{X_i\}$的对偶基, 因此构成$T_p^\ast M$的基, 称为自然基.

$\,\forall\,f\in C_p^\infty,$ $(df)_p=\sum_{i=1}^m a_i(dx^i)_p\in T_p^\ast M.$ 两边作用$X_j,$ 得$X_j(f)=a_j.$ 因此有$(df)_p=\sum_{i=1}^m X_i(f)(dx^i)_p.$ 由此也可以看出称其为微分的原因.

注 1.3. 若$f\sim g\in C_p^\infty,$ 那么$X(f)=X(g),$ 从而$(df)_p=(dg)_p.$ 那么记$\tau:\mathcal{F}_p^\infty\rightarrow T_p^\ast M,$ $\tau([f])=(df)_g$ 是线性满的. $\widehat{\tau}:\mathcal{F}_p^\infty/\ker(\tau)\cong T_p^\ast M$为线性同构, $\ker(\tau)=\{[f]\in \mathcal{F}_p^\infty|\tau([f])=(df)_p=0\}.$ 因此对余切空间的另一种定义方式就是函数芽空间做商空间, 然后再对偶来定义切空间.

切丛

取$TM=\bigcup_{p\in M}T_pM,$ 称为$M$的切丛. 引入$\pi:TM\rightarrow M,$ $\pi(T_pM)\rightarrow p,$ 称为自然投影. 任取坐标卡$(U,\varphi; x^i),$ 考察$\pi^{-1}(U).$ $\,\forall\,q\in U,$ $T_qM$有自然基, 于是$T_qM\cong \mathbb{R}^m.$ 从而有$\widehat{\Phi}:\pi^{-1}(U)\xrightarrow{\Phi}U\times \mathbb{R}^m\xrightarrow{ \varphi\times \mathrm{id}_{\mathbb{R}^m} }\varphi(U)\times \mathbb{R}^m,$ 其中$\Phi(X)=(\pi(X),\xi),$ $X=\sum_{i=1}^m \xi^i X_i.$

赋予$TM$自然拓扑结构, 使得$\pi^{-1}(U)$是$TM$的开子集, 且$\widehat\Phi:\pi^{-1}(U)\rightarrow \varphi(U)\times \mathbb{R}^m$为同胚. 令所有$\pi^{-1}(U_i)$的开子集构成生成$TM$的拓扑基即可. 那么$TM$成为$2m$维拓扑流形.

此时$\widehat{\mathcal{F} }=[\{(\pi^{-1}(U_\alpha),\widehat{\Phi}_\alpha)\}]$为$TM$坐标图册, 转移函数$\widehat{\Phi}_\beta\circ \widehat{\Phi}_\alpha^{-1}(x,\xi)=(\varphi_{\beta}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}(x),J(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})\xi)$为光滑函数, 因此图册是光滑的, 故切丛$TM$为$2m$维$C^\infty$流形.

文章最后更新于 2021-10-09 12:26:27