《微分流形》第二章-秩定理

秩定理

定理 1.1 (秩定理). 设光滑映照$F:M^m\rightarrow N^n$在$p$点邻域内秩为$k,$ 则$\,\exists\,$分别含$p,q=F(p)$的坐标系$(U,\varphi),(V,\psi),$ 使得$p,q$坐标为零且局部表示$\widehat{F}$为投影.

证: 先取定一个坐标系使得$p,q$坐标为零, 记$\widetilde{U}=\varphi(U),$ $\widetilde{V}=\varphi(V).$ 考虑$k=m\le n$的情形. 取局部表示$\widehat{F}$的Jacobi矩阵$D\widehat{F},$ 不妨设其前$m$行在原点邻域是非退化的. 取

$$I_\varepsilon=\{(x^{m+1},\cdots,x^n)| |x^\gamma|\le \varepsilon, m+1\le \gamma\le n\}\subset \mathbb{R}^{n-m},$$ $$\widetilde{\psi}:\widetilde{U}\times I_\varepsilon\rightarrow \widetilde{V}$$ $$\begin{aligned} \widetilde{\psi}^i(t)&=f^i(t^1,\cdots,t^m) & 1\le i\le m;\\ \widetilde{\psi}^i(t)&=t^i+f^i(t^1,\cdots,t^m) & m+1\le i\le n. \end{aligned}$$

那么容易说明$\widetilde{\psi}$的Jacobi矩阵非退化. 由反函数定理, 不妨假设$\widetilde{\psi}$本身为微分同胚, 那么当然$\widetilde{\psi}^{-1}$也是.

考虑$\widetilde{\psi}^{-1}\circ\widehat{F},$ 它是$(U,\varphi),(V,\widetilde{\psi}\circ\psi)$的局部表示. 它的Jacobi阵前$m$行为单位阵, 后$n-m$行为零. 结合其将原点映为原点的性质, 该局部表示即为投影. 从$\widetilde{\psi}^{-1}$的原始定义出发同样可以说明.

对$k=n$的情形, 构造合适的$\widetilde{\varphi}$即可. 对一般的情形, 同时改造两侧的坐标系即可给出证明.

特别地, 对该定理, 可以要求$\varphi(U)=C_\varepsilon^m(0),$ $\psi(V)=C_\varepsilon^n(0).$ $C_\varepsilon^r(0)$为$r$维$\varepsilon$边长的立方体.

取$0\le k\le m,$ 对$a\in \varphi(U),$ 取$S=\{q\in U|x^i(q)=a^i, k+1\le i\le m\}.$ 赋予其诱导拓扑, 使之成为$k$维拓扑流形. 取$\widetilde{\varphi}=T\circ\varphi|_S:S\rightarrow T\circ\varphi(S)\subset \mathbb{R}^k$为同胚, $T$为投影. 那么其有坐标系$(S,\widetilde{\varphi}),$ 成为$k$维$C^\infty$流形, 称为$(U,\varphi)$的$k$维切片.

因此秩定理说明, $F(U)$是$V$内的$k$维切片, 在$U,V$像取立方体时.

子流形

回忆曲线: $C:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^3,$ $C’(t)\neq 0,$ 即$r(C(t))=1;$

曲面: $F:\Omega\subset \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3,$ $(u,v)\mapsto F(u,v).$ $F_u,F_v$线性无关, 即$r(F)=2.$

一般地, 设$F:M^m\rightarrow N^n$为$C^\infty$映照. 若$F$每点秩为$m,$ 则称$(M,F)$为$N$中的浸入子流形. 如果$F$又是单射, 则称之为子流形. 浸入子流形在局部考虑都是子流形. 包含映射当然是秩$m$的, 因此$M$中开子集都是开子流形.

注意(浸入)子流形指$(M,F)$对, 而非像. 事实上有一个子流形与非子流形的浸入子流形像一致.

文章最后更新于 2021-10-20 16:23:00