论文笔记-Forman曲率与Ollivier曲率
DreamAR

Characterizations of Forman curvature - Jürgen Jost, Florentin Münch

基本定义

胞腔复形与图

给定胞腔复形$X=\bigcup X_k.$ 取$\delta:X_k\rightarrow X_{k+1}$为关联(incident)算子, $\delta v(z)=\pm 1$或$0.$ 要求胞腔复形满足如下性质:

  • $\dim(z)\ge 1\Rightarrow \,\exists\,x\prec z;$

  • $|\{w\in X_0:\delta w(x)=1\}|=|\{w\in X_0:\delta w(x)=-1\}|=1,$ $\,\forall\,x\in X_1;$ (每边两顶点)

  • $\dim(z)-\dim(v)=2,$ $\{x:v\prec x\prec z\}\neq \varnothing$

    $\Rightarrow$ $|\{x:v\prec x\prec z\}|=2$ 且 $\pm 1\in \{\delta v(x)\delta x(z):x\in X\}.$ (diamond性& $\delta^2=0$)

  • (定向)连通性;

  • $\{x:x\prec z\}=\{x:x\prec z’\},$ $\dim z\ge 1\Rightarrow z=z’.$ (简单图)

$\,\forall\,x,y\in X,$ 记$x\sim y$若$\,\exists\,v\prec x,y$或$x,y\prec z.$ 这诱导了距离:

注意在$X_0$上这并不是一般的路径距离. 在复形维数较高时, 点到点可以凭借高维胞腔更快速地转移.

定义带权内积

将$x$视为$1_x,$ 线性扩张$\delta:C(X)\rightarrow C(X).$ 定义伴随$\delta^\ast :C(X)\rightarrow C(X),$

这与Forman定义中的$\partial$有区别,

Hodge Laplacian

定义Hodge Laplacian

计算$Hy(x),$ 分别计算如下式子:

更简单的有:

注意与Forman定义不同, 维数较小的胞腔权重总是在分母上.

当$X=X_0\cup X_1$为赋权定向图时, 记$m(x)=m(v,w)=m(w,v),$ $x\in X_1,$ $v,w$为两顶点. $H$作用在$C(X_0)$上为:

即$H_0$就是带权图的Laplacian.

Forman曲率

对$x\neq y\in X_1,$ 第一个和中至多有一项非零, 第二个和中非零项符号均一致. 当两个和中均出现非零项时, 有$\delta v(x)\delta v(y)=-\delta x(z)\delta y(z).$ 因此

容易得到

对(任意)自伴算子$H,$ 有分解 $\Delta$为极小对角占优算子, $D$为对角阵. 显然有

对Hodge Laplacian做分解, 将得到的$D$称为Forman曲率. 对$x\in X_1,$

若$m\equiv 1,$

与Forman曲率确实是一样的.

但事实上得到$F$的过程与Forman曲率并不完全一致, 对一般的$m$二者并不相同. Forman在分解Hodge Laplacian前, 先对$H$做了对称化, 即在常权重下是对称阵.

不过根据步骤的不同, 可以转化两种不同的Forman曲率.

对偶关系

Forman曲率的对偶表示

对复形$K=(X,\delta,m),$ $K’=(X’,\delta,m’),$ 记$K’\le_k K,$ 若满足如下条件:

  1. $X_j=X_j’,$ $\,\forall\,j\le k;$

  2. $X_j’\subset X_j,$ $\,\forall\,j>k;$

  3. $m(x)=m’(x),$ $\,\forall\,\dim x\le k;$

  4. $\delta’v(x)=\delta v(x),$ $\,\forall\,x,v\in X’.$

也就是$K’\subset K$且它们的带权定向$k$-骨架相同.

定理 1.1. $K=(X,\delta,m),$ $x\in X_k,$ $k\in \mathbb{N}.$ 那么有

Ollivier曲率

对$x\in X_1,$ 其Ollivier曲率可写为

事实上只需考虑$f\in C(X_0).$

显然有如下转化:

定理 1.2. $K=(X,\delta,m),$ $x\in X_k,$ $k\in \mathbb{N}.$ 若所有含$x$的长度不超过$5$的圈都是$2$-胞腔, 那么有:

两者联系

推论 1.3. $G=(X,\delta,m)$为$1$维胞腔复形, 那么$\,\forall\,x\in X_1,$

证: 令$G\le_1 X,$ $X$包含所有可能的$2$-胞腔, 自然全体长度不超过$5$的圈都是$2$-胞腔. 那么:

也就是可以通过粘贴合适权重的$2$-胞腔, 使得新图的Forman曲率与原有的Ollivier曲率相同.

推论 1.4. $K=(X,\delta,m),$ $x\in X,$ 那么:

证:

调整距离

基本性质

定义Ollivier曲率时可以选取其它的距离. 赋予图另一权重$\omega,$ 定义路径距离$d_\omega:X_0\rightarrow [0,\infty),$

总是假设$\omega$是非退化的, 即边总是顶点间的最短距离. 定义关于$\omega,$ 或称关于$d_\omega$的Ollivier曲率:

非退化的要求实际上意味着在$X_1$上Ollivier曲率是有限的.

为了令Forman曲率与新的Ollivier曲率相容, 改造其为关于$\omega$的Forman曲率:

$x\in X_1$时, 即为

事实上可以使它与之前得到Forman曲率的过程一致:

对偶性质

类似地有:

定理 1.5. $K=(X,\delta,m,\omega),$ $x\in X_k,$ $k\in \mathbb{N}.$ 那么有

定理 1.6. $K=(X,\delta,m,\omega),$ $x\in X_k,$ $k\in \mathbb{N}.$ 若所有含$x$的极小圈都是$2$-胞腔, 那么有:

推论 1.7. $G=(X,\delta,m,\omega)$为$1$维胞腔复形, 那么$\,\forall\,x\in X_1,$

推论 1.8. $K=(X,\delta,m,\omega),$ $x\in X,$ 那么:

Forman曲率原定义

Forman定义的关于权重$w$的曲率为:

$x\in X_1.$ 可以看出去掉极小对角占优算子前, 算子$H$是已经对称化过的.

文中定义的是:

不难发现当$m=\frac{1}{w},$ $\omega=\sqrt{w}$时, 有$F_\omega(x)=\frac{F_o(x)}{w(x)}.$

文章最后更新于 2021-10-23 11:13:29

  • 本文标题:论文笔记-Forman曲率与Ollivier曲率
  • 本文作者:DreamAR
  • 创建时间:2021-10-23 10:50:16
  • 本文链接:https://dream0ar.github.io/2021/10/23/论文笔记-Forman曲率与Ollivier曲率/
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