《代数拓扑与微分形式》笔记(9)-显式同构

好覆盖组合计算de Rham上同调

设$\mathcal{U}=\{U_\alpha\}$为$M$的开覆盖, 则$\mathcal{U}$的 nerve $N(\mathcal{U})$为一个单纯复形: 对每个$U_\alpha$赋予一个顶点$\alpha$, 若$U_{\alpha\beta…\gamma}$非空, 则添加$[\alpha,\beta,…,\gamma]$单形.

$\delta :C^\ast (\mathcal{U},\mathbb{R})\rightarrow C^{\ast +1}(\mathcal{U},\mathbb{R})$事实上即为复形层面的上同调. 于是这提供了另一种求上同调的方法: 即考虑求$H^\ast (\mathcal{U},\mathbb{R})\cong H^\ast (M)$.

显式同构例子

$H^2(M)\cong H^2(\mathcal{U},\mathbb{R})$为几何上的重要例子. 这个同构具体的给出, 顺着双复形沿对角线$(K^2)$跑即可, 需适当添加下一行对角线$(K^1)$上的元素. 即$[\omega]_d=[\omega]_D=[c]_D=[c]_\delta$, 其中存在$\eta\in K^1$, $D\eta=c-\omega$.

反过来的跑, 需要利用上节课程中的同伦算子$K$. $(Kc)_{\beta\alpha}=\sum \rho_\gamma c_{\gamma\beta\alpha}$. 从而显式地, 我们有对应于$c$的$((D’’K)^2c)_\alpha=\sum d\rho_\gamma\wedge d\rho_\beta \cdot c_{\gamma\beta\alpha}\in \Omega^2(U_\alpha)$, 它在$M$上整体定义.

显式同构

引理 1.1. $\delta(D’’ K)^i=(D’’K)^i\delta-(D’’K)^{i-1}D’’$

计算即可. 由此得到:

命题 1.2. $\eta\in C^n(\mathcal{U},\mathbb{R})$, $\delta \eta=0$, 则它对应的闭$n$形式$\omega=(-1)^n(D’’K)^n\eta$.

由于$\Omega^\ast (M)$与$C^\ast (\mathcal{U},\Omega^\ast )$上同调同构, 其间应有链映射$f$, 与$r$在上同调意义下互为逆映射.

我们先来定义$f$. 设$\alpha=\sum_{i=0}^n\alpha_i$, $\alpha_i\in C^i(\mathcal{U},\Omega^{n-i})$. 对每个$\alpha_i$, 定义$f(\alpha_i)=(1-K\delta)(-D’’K)^i\alpha_i$, 则$\delta f(\alpha_i)=0$, $f(\alpha)=\sum_{i=0}^n f(\alpha_i)$整体定义.

引理 1.3. $D\alpha=\beta=\sum_{i=0}^{n+1}\beta_i$, $f(\alpha)=\sum_{i=0}^n(-D’’K)^i\alpha_i-\sum_{i=1}^{n+1}K(-D’’K)^{i-1}\beta_i$.

利用之前的引理即可. 接下来我们有:

引理 1.4. $f$是链映射, $f\circ r=\mathrm{id}$.

前项利用先前的公式验证$df=fD$即可, 后项注意$r\alpha$只有$\alpha_0$项且整体定义.

还有一个命题需要证明:

引理 1.5. $1-r\circ f=DL+LD$, 同伦算子$L\alpha=\sum_{p=0}^{n-1}(L\alpha)_p$, $(L\alpha)_p=\sum_{i=p+1}^nK(-D’’K)^{i-(p+1)}\alpha_i$.

事实上这个同伦算子很容易想到, 就是对于每一个$n-1$-上链的分量, 把$n$-上链每一个分量能打到该位置的都往上打即可. 从而, 我们有:

命题 1.6 (Collating 公式). $f:C^\ast (\mathcal{U},\Omega^\ast )\cong \Omega^\ast (M)$为同构, 逆映射就是$r$.

文章最后更新于 2021-10-25 14:18:02