《微分流形》第四章-分布

积分曲线

定理 1.1 (Flow box). 设$X\in\chi(M),$ 若$X_p\neq 0,$ 则存在含$p$坐标系$(U,\varphi;x^i)$使得$X|_U=\frac{\partial {} }{\partial {}x^1},$ 即$x^1$-曲线就是$X$在$U$中的积分曲线.

证: 任取坐标系$(U,\varphi;u^i),$ $\varphi(p)=0.$ $X|_U=\sum_i\xi^i(u)\frac{\partial {} }{\partial {}u^i}.$ 不妨设$\xi^1(p)\neq 0,$ 且进而设其处处非零. 设$u$可写为$v$的函数(坐标变换), 使得$X|_U=\xi^1(v) \frac{\partial {} }{\partial {}v^1}.$ 两边作用$u^\alpha,$ 有 $\left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial {}u^\alpha}{\partial {}v^1}=\frac{\xi^\alpha(u^1,\cdots,u^m)}{\xi^1(u^1,\cdots,u^m)},\quad \alpha=1,\cdots,m.\\ &u^\alpha(0,v^2,\cdots,v^m)=v^\alpha \end{aligned} \right.$ 由ODE理论, $\,\exists\,\delta>0$使得$C_\delta^m=\{|u^i|<\delta\}\subset U,$ $\,\forall\,$给定初值$(0,v^2,\cdots,v^m)\in C_\delta^m,$ 在$v^1\in (-\widetilde{\delta},\widetilde{\delta})$内有唯一解$u^\alpha(v).$ 记$\widehat{\delta}=\min\{\delta,\widetilde{\delta}\},$ 那么对于$u^\alpha:C_{\widehat{\delta} }^m\rightarrow \varphi(U),$ $\det(Du^\alpha)|_0=1,$ 局部为微分同胚. 不妨设本身就是微分同胚(不然可将$\widetilde{\delta}$缩小), 记为$G.$

此时在坐标系$(\widetilde{U},G^{-1}\circ\varphi;v^i)$下, $X|_{\widetilde{U} }=\xi^1(v)\frac{\partial {} }{\partial {}v^1}.$ 最后再做变换 $\left\{ \begin{aligned} &w^1=\int_0^{v_1} \frac{dt}{\xi^1(t,v^2,\cdots,v^n)}\\ &w^\alpha=v^\alpha,\quad \alpha=2,\cdots,m \end{aligned} \right.$ 即有$X|_{\widetilde{U} }=\frac{\partial {} }{\partial {}w^1},$ $w^1$-曲线为$X$在$\widetilde{U}$中积分曲线.

分布

定义 1.2. $M^m$为$C^\infty$流形, 若$\,\forall\,p\in M,$ 指定$T_pM$中$k$-维子空间$D_p,$ 则称$\mathcal{D}:p\rightarrow D_p$为$M$上$k$维分布.

若$\,\forall\,p\in M,$ $\,\exists\,U\ni p,$ $X_1,\cdots, X_k\in \chi(U),$ 使得$\mathcal{D}_q=\operatorname{span}\{X_1(q),\cdots,X_k(q)\},$ $\,\forall\,q\in U,$ 则称$\mathcal{D}$是$M$上$C^\infty$分布, $\{X_1,\cdots,X_k\}$称为$\mathcal{D}$的局部标架场. $k\in(0,m)$时, $\mathcal{D}$可看作$TM$的非平凡秩$k$子丛.

定义 1.3. 设$\mathcal{D}$是$M$上$k$维$C^\infty$-分布, $F:W\hookrightarrow M$是子流形, 满足${F_{\ast } }_p(T_pW)=D_{F(p)},$ $\,\forall\,p\in W.$ 则称$(W,F)$为$\mathcal{D}$的积分子流形.

自然的问题是, 给定$M^m$上一个$k$维$C^\infty$-分布$\mathcal{D},$ $\,\forall\,p\in M,$ 是否存在$\mathcal{D}$的过$p$点的积分子流形? 答案是否定的. 事实上积分子流形应有积分曲线网, 那么若在$\mathbb{R}^3$上取$X=\frac{\partial {} }{\partial {}x}+y\frac{\partial {} }{\partial {}z},$ $Y=\frac{\partial {} }{\partial {}y},$ $\mathcal{D}=\operatorname{span}\{X,Y\}.$ 那么若有过零点的积分子流形, 应包含$xoy$平面的一小部分. 但是在$x$轴外该流形又不是积分子流形, 矛盾.

定义 1.4. 设$\mathcal{D}$是$M$上$k$维$C^\infty$-分布, 若过每点$p\in M$都存在$\mathcal{D}$的积分子流形, 则我们称$\mathcal{D}$是可积的. 否则, 称之为不可积的.

$k=0,m$时平凡. $k=1$时, 由积分曲线存在定理, $1$维分布总是可积的, 积分子流形即为积分曲线. 但积分曲线不都是某个分布的积分子流形, 因为积分曲线对应的光滑向量场允许有奇点, 但有奇点的光滑向量场并不能作为标架张成分布.

文章最后更新于 2021-11-03 16:49:42