《代数拓扑与微分形式》笔记(11-1)-球面丛

定义

对$\pi:E\rightarrow M$秩$n+1$向量丛, 给定度量$\left<{}-,-\right>$, 可定义$r^2(v)=\left<{}v,v\right>$. 置$S(E)_x=\{v\in E_x|r(v)=1\}\simeq S^n$, $x\in M$; $S(E)=\prod_{x\in M}S(E)_x$, 则$S(E)$是$M$上纤维为$S^n$的纤维丛. 它的结构群是$O(n+1)$.

把纤维为球面$S^n$的纤维丛称为$n$维球面丛或$S^n$丛. 结构群是微分同胚群$\operatorname{Diff}(S^n)$. 它一般并不一定能约化到$O(n+1)$. 事实上能约化到$O(n+1)$当且仅当该球面丛由向量丛构造(上一段).

设$\pi:E\rightarrow M$为$n$维向量丛, 根据Leray-Hirsch定理, 若在$E$上存在闭的整体$n$-形式, 它到每条纤维的限制生成纤维的上同调, 则$E$的上同调是$H^\ast (E)=H^\ast (M)\otimes H^\ast (S^n)$.

若结构群是$SO(2)$, 则其上有整体角形式$\psi$与欧拉类$d\psi=-\pi^\ast e$. 若欧拉类为零, 则整体角形式闭, 满足上述条件.

一般的, 考虑结构群为$\operatorname{Diff}(S^n)$或$O(n+1)$的球面丛. 我们研究可定向性与欧拉类.

可定向性

假定$M$是连通的, 有好覆盖$\{U_\alpha\}$. 取$\pi:E\rightarrow M$为$n$维球面丛, $E|_{U_\alpha}\approx U_\alpha\times S^n$, $H^n(E|_{U_\alpha})=\mathbb{R}$. 设$[\sigma_\alpha]$为生成元. 先验地, $[\sigma_\alpha]_{E|_{U_{\alpha\beta} } }=\pm[\sigma_\beta]_{E|_{U_{\alpha\beta} } }$.

若存在定向平凡化, 使得$[\sigma_\alpha]_{E|_{U_{\alpha\beta} } }=[\sigma_\beta]_{E|_{U_{\alpha\beta} } }$, 则称$E$是可定向的. 它等价于对每条纤维$E_x$, 选取$H^n(E_x)$生成元$[\sigma_x]$, 满足局部相容性条件: $M$上每点有邻域$U$, 与$H^n(E|_U)$生成元$[\sigma_U]$, 使得$\,\forall\,x\in U$, $[\sigma_U]|_{E_x}=[\sigma_x]$.

相容性条件等价于$\sigma_\beta-\sigma_\alpha=d\sigma_{\alpha\beta}$. 这是讨论欧拉类的出发点.

对于定向球面丛, 有两组相容生成元, 每组生成元称为球面丛的一个定向. 给定定向的球面丛称为定向球面丛. 流形$M$上$S^0$丛是$M$的二重覆盖. 如果$M$是连通的, 该丛可定向当且仅当它有两个连通分支.

固定一个定向, 取$[\sigma]\in H^n(S^n)$为生成元. 若$g\in SO(n+1)$, 则$g(S^n)=S^n$且定向相同. $g^\ast [\sigma]=\sigma$当且仅当正交变换$g$的行列式为正.

现在研究向量丛$E$可定向性与$S(E)$可定向性.

命题 1. 向量丛$E$可定向当且仅当球面丛$S(E)$可定向.

证: 给定$E$上度量, 给定保内积的局部平凡化$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$. $g_{\alpha\beta}$约化到$O(n+1)$选取, 诱导了$S(E)$的局部平凡化$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$. $S(E)$的结构群也是$O(n+1)$.

取投射$\rho_\alpha:U_\alpha\times S^n\rightarrow S^n$, 利用$\rho_\alpha^\ast ,\varphi_\alpha^\ast $拉回$H^n(S^n)$生成元$[\sigma]$, 给出$H^n(S(E)|_{U_\alpha})$生成元$[\sigma_\alpha]_x$.

可以发现, $[\sigma_\alpha]_x=[\sigma_\beta]_x\Leftrightarrow [\sigma]=g_{\alpha\beta}(x)^\ast [\sigma]$. 从而命题得证.

注 2. $SO(1)=\{1\}$, 因此连通流形$M$上的线丛$\pi:L\rightarrow M$可定向当且仅当它是平凡的. 此时球面丛$S(L)$有两个连通分支. ($S^0=\{\pm 1\}$)

若$\{g_{\alpha\beta}\}$为$E$的转移函数, 则$\{\det g_{\alpha\beta}\}$为行列式丛的转移函数. 因此有:

命题 3. 向量丛$E$可定向当且仅当行列式丛$\det E$可定向.

由于$0$-球面丛$S(\det E)$是$M$的二重覆盖, $E$可定向当且仅当$S(\det E)$不连通. 由于单连通流形不可能有重数大于$1$的连通覆盖空间, 从而有:

命题 4. 单连通流形上每个向量丛可定向.

以及:

推论 5. 单连通流形可定向.

欧拉类

$\sigma_\beta-\sigma_\alpha=d\sigma_{\alpha\beta}$, 定义了$0$-上链$\sigma^{0,n}=(\sigma_\alpha,\sigma_\beta,…)$, 与$1$-上链$\sigma^{1,n-1}=(\sigma_{\alpha\beta},\sigma_{\alpha\gamma},…)$. 利用$\{U_\alpha\}$为好覆盖, 以及Künneth公式, 可继续沿对角线往右下方走, 得到欧拉类$[\varepsilon]\in H^{n+1}(\mathcal{U},\mathbb{R})$, 这对应了$[e]\in H^{n+1}(M)$.

若$E$是定向向量丛, 零截面补$E^0$与定向球面丛有相同伦型. $E$欧拉类定义为$E^0$欧拉类. $E$欧拉类也可以通过度量成为$S(E)$的欧拉类.

命题 6. 给定定向, 欧拉类与$\sigma^{j,n-j}$选取无关.

凭借下一行的元素即可, 找$\tau\in K^{n-1}$, $D\tau=\bar\sigma-\sigma$, 这将推得$\delta \tau=\bar\varepsilon-\varepsilon$, 这里$\tau$跑到了$C^n(\pi^{-1}\mathcal{U},\mathbb{R})$. $[\bar\varepsilon]=[\varepsilon]\in H^{n+1}(M)$.

命题 7. 欧拉类$e(E)$与好覆盖选取无关.

取$\mathcal{W}$为$\mathcal{U},\mathcal{V}$的公共加细好覆盖, 则由Čech同构, $[\varepsilon_\mathcal{U}]=[\varepsilon_\mathcal{W}]=[\varepsilon_\mathcal{V}]$.

若欧拉类$e(E)\in H^{n+1}(M)$为零, 则$\varepsilon=\delta \tau$为上边缘, 那么$\delta (\sigma^{n,0}+i\tau)=-i\varepsilon+i\varepsilon=0$, 从而可用$\sigma^{n,0}+i\tau$代替$\sigma^{n,0}$, 这样$\delta \sigma^{n,0}=0$, $D\sigma=0$. 由Collating公式, 这对应了$E$上的整体闭$n$-形式$\eta$, 使得$[\eta|_{E{|_{U_\alpha} } }]=[\sigma_\alpha]$, 限制在每条纤维上为生成元.

总结一下, 我们从球面丛$E$可定向, 给出了欧拉类. 当欧拉类为零时, 推出了整体定义的$\eta$. 反过来, 若有一个整体定义的闭形式$\eta$, 限制在每个纤维上为生成元, 那么取$[\sigma]_x=[\eta|_x]$, $E$当然是可定向的. 此时$\sigma_\alpha=\sigma_\beta=\sigma_x$, $d\sigma_{\alpha\beta}=0$, 从而推出欧拉类为零.

综上, 球面丛$E$可定向且欧拉类为零当且仅当$E$上存在一个限制在每条纤维上是生成元的整体闭形式.

欧拉类用来衡量定向向量丛的扭曲程度:

命题 8. 若定向球面丛$E$有截面, 则它的欧拉类为零.

证: 若$E$有截面$s$, 注意到$-\pi^\ast \varepsilon=D\sigma$, 作用$s^\ast $有$-\varepsilon=Ds^\ast \sigma$, 因此欧拉类为零($D$-上边缘, $[-\varepsilon]_\delta=[Ds^\ast \sigma]_D=0=[e]_d$).

注 9. 之前也有$-i\varepsilon=D\sigma$, 为什么欧拉类可能非零? 因为$\pi^{-1}\mathcal{U}$并不是一个好覆盖, 没有$H^\ast (\pi^{-1}\mathcal{U},\mathbb{R})\cong H^\ast (K)=H^\ast (\pi^{-1}\mathcal{U},\Omega^\ast )$. 但经过$s^\ast $拉回, $s^\ast \sigma$所在的双复形就是基于好覆盖的了. 所以这一部分的内容可以看成两层双复形, 其间由$\pi^\ast $和$\pi^\ast $逆映射(不一定是$s^\ast $)联系. 上层是$\pi^{-1}\mathcal{U}$的双复形, 是纤维层; 下层是$\mathcal{U}$的双复形, 是流形层. 从纤维层左上方由定向类出发, 往右下方跑到$[\pi^\ast \varepsilon]$. 因为利用好覆盖的性质, $\pi^\ast $在Čech上同调上是同构(可缩空间上的向量丛都是平凡丛, 再利用连通性说明). 这对应的是$[\varepsilon]$, 落在下层. 然后往左上方跑到$[e]$, 这就是欧拉类了.

整体角形式

设$\pi:E\rightarrow M$为定向$S^n$丛, 问是否存在$\psi\in \Omega^n(E)$, 使得$[\psi|_{E_x}]\in H^n(E_x)$是生成元, $d\psi=-\pi^\ast e$.

由Collating公式, $e=(-1)^{n+1}(D’’K)^{n+1}\varepsilon$. $D\sigma=-\pi^\ast \varepsilon$, 则$\psi=f(\sigma)=\sum_{i=0}^n(-1)^i(D’’K)^i\sigma^{i,n-i}+(-1)^nK(D’’K)^n(-\pi^\ast \varepsilon)$. 这里因为$\{\pi^\ast \rho\}$是$\pi^{-1}\mathcal{U}$上的单位分解, 可以把流形层上的同伦算子照搬到纤维层上.

可以看出, $d\psi=(-1)^n dK(D’’K)^n (\pi^\ast \varepsilon)=-\pi^\ast e$. 同时由于同伦算子$K$中的单位分解为$\pi^\ast $拉回的, 限制在$E_x$上不动, 因此$\psi$所有单项中前面有$K$的项, 限制在纤维上都为零. 从而在纤维上, $[\psi|_{E_x}]=[\sigma^{0,n}|_{E_x}]\in H^n(E_x)$. 因此$\psi$恰为整体角形式.

注 10. 设$\{U_\alpha\}$为$M$开覆盖, 局部平凡化$n$维球面丛$E$. 则上面的$e,\psi$满足$\operatorname{supp}d\psi\subset \pi^{-1}(U_{\alpha_0\cdots\alpha_n})$, $\operatorname{supp}e\subset \cup U_{\alpha_0\cdots \alpha_n}$.

这自然是因为$\varepsilon$只在$\cup U_{\alpha_0\cdots\alpha_{n+1} }$上局部常值, 每次经过$K$后确保支集落在一个$U_\alpha$内. 由 Collating 公式, 经过$n+1$次$K$后, 欧拉类$e$支集落在$\cup U_{\alpha_0\cdots\alpha_n}$上. 由$d\psi=-\pi^\ast e$得到另一结果.

文章最后更新于 2021-11-21 15:56:09