《代数拓扑与微分形式》笔记(11-2)-Hopf指标定理

欧拉数与截面的孤立奇点

假定$M$是紧定向$n$维流形, $\pi:E\rightarrow M$为定向$S^{n-1}$丛, 结构群可约化到$O(n)$. 即它是某个秩$n$向量丛的球面丛.

$e(E)\in H^n(M)$, 与欧拉数$\int_M e(E)$等同. 定义$M$的欧拉数为$\int_M e(TM)$. 欧拉数依赖于$E,M$的定向选取.

命题 1. 条件如前面所述, 则存在${x_1,…,x_q}\in M$, $E$限制在$M-{x_1,…,x_q}$上有截面.

证: 存在秩$n$向量丛$E’$与度量$\left<{},\right>$, 使得$E=S(E’)$. 设$s’:M\rightarrow E’$为截面. 若$s’(x)\neq 0$, 则$s(x)=\frac{s’(x)}{\Vert s’(x)\Vert}\in E_x$. 只需证明存在$s’:M\rightarrow E’$, 只有有限多个零点.

我们需要如下定理:

定理 2 (横截性定理). 设$X$紧, $Z$为$Y$的闭子流形, $f’:X\rightarrow Y$为光滑映射, 则存在$f’$的充分小扰动$f:X\rightarrow Y$, 使得$f$与$Z$横截.

设$s_0$为零截面, $S_0=s_0(M)\subset E’$为闭子流形. 由横截性定理, 存在充分小扰动$f:M\rightarrow E’$, $f$与$S_0$横截. $g=\pi\circ f:M\approx M$(因为是恒等映射的充分小扰动), 定义$s’:M\rightarrow E’$为$s’(x)=f(g^{-1}(x))$, 那么$\pi\circ s’=\mathrm{id}$, $s’$为截面.

由于$f$横截于$S_0$, $s’$横截于$S_0$(只跟像有关), $S=s’(M)$与$S_0$横截相交. 由于$\dim S+\dim S_0=2n=\dim E’$, 因此$\dim (S\cap S_0)=0$. 又因为$S\cap S_0$紧, 交集为有限多个点. 那么$s’:M\rightarrow E’$只有有限多个零点.

注 3. 事实上, 不需要能够约化到$O(n)$, 命题也成立.

设$s$为$E|{M-{x_1,…,x_q} }$的一个截面, 取开覆盖$\mathcal{U}$, 使得$U\alpha$上有坐标图,平凡化且最多包含一个$xi$. 由下面的引理, 还可以要求每点$x_i$有邻域$W_i$, 只包含于一个$U\alpha$.

引理 4. 存在$\mathcal{U}$的一个加细$\mathcal{V}$, 使得每点有一个邻域$Wi$, 只与某个$V\alpha$相交.

证: 对于每点$x$, 只需给定某个开邻域$W$包含于$U_\alpha$, 改造开覆盖, 让其他的开集减去$\bar W$即可. 有限次对每个点这样做即可.

承上, 设$xi\in W_i\subset U{\alpha_i}$为奇点, 取充分小开邻域$D_i\subset W_i$, $\psi_i(D_i)\subset \mathbb{R}^n$为半径为$r_i$的开圆盘. $\partial D_i\approx S^{n-1}$. 有如下映射列:

$$\partial D_i\xrightarrow{s|_{\partial D_i} }E|_{\partial D_i}\xrightarrow{i} E|_{D_i}\xrightarrow[\sim]{\phi_i} D_i\times S^{n-1}\xrightarrow{\operatorname{pr}_2}S^{n-1}.$$

记$s_i$为前两个映射的复合, 后两个映射复合记为$\rho_i$.

选取定向使得$E|{D_i}\simeq D_i\times S^{n-1}$保定向(直和定向). 选取$\sigma\in H^{n-1}(S^{n-1})$为正生成元. 定义$s$在$x_i$的局部度数记为$l.d.(x_i):=\int{\partial D_i} s^\ast _i\rho^\ast _i\sigma$. (l.d. means local degree)

定理 5. 条件继承上面所有讨论. 则$E$的欧拉数$\intM e(E)=\sum{i=1}^{q} l.d.(x_i)$.

证: 由上节课内容, $\operatorname{supp}e\subset \cup U{\alpha_0\cdots \alpha{n-1} }$, $e$限制在每个开邻域$W_i$上取零. 因此由Stokes定理,

$$\int_M e=\int_{M-\cup D_i} s^\ast \pi^\ast e=-\int_{M-\cup D_i} s^\ast d\psi=\sum_{i=1}^q \int_{\partial D_i} s_i^\ast \psi.$$

虽然整体角形式$\psi$不一定闭, 但限制后有

$$d\psi|_{E|_{W_i} }=-(\pi^\ast e)|_{E|_{W_i} }=-\pi^\ast (e|_{W_i})=0.$$

因此$[\psi|{E|{Wi} }]\in H^{n-1}(E|{Wi})$为生成元, 因为它限制在每条纤维上是生成元. 设$[\sigma]\in H^{n-1}(S^{n-1})$为生成元, 则$[\psi|{E|{W_i} }]=[\tilde \rho_i^\ast \sigma]$, $\tilde \rho_i:E|{Wi}\rightarrow W_i\times S^{n-1}\rightarrow S^{n-1}$. 因此$\psi|{E|_{W_i} }=\tilde \rho_i^\ast \sigma +d\tau_i$, 拉回到$\partial D_i$上, $s_i^\ast \psi=s_i^\ast \rho_i^\ast \sigma +s_i^\ast d\tau_i$.

两边积分, 由Stokes定理, $\int_{\partial D_i} s_i^\ast \psi=l.d.(x_i)$. 定理得证.

上述定理可以叙述在向量丛上. 设$\pi:E\rightarrow M$为紧定向$n$维流形上秩$n$定向向量丛, $s$为$E$的具有有限多零点的截面. $s$在零点$x$的重数定义为$E$的单位球面丛$S(E)$的奇异截面$s/\Vert s\Vert$在奇异点$x$的局部度数. 定义与度量选取无关, 因为局部度数是同伦不变量.

由于$e(E)$是$M$上$n$-形式, $\int_M c\cdot e(E)=cm=m\int_P c$, $m$为$E$的欧拉数, $P$是任意点. 因此$e(E)$ Poincaré对偶于$mP$. 我们自然有如下定理:

定理 6. 设$\pi:E\rightarrow M$为紧定向$M^n$上秩$n$定向向量丛, $s$为$E$的具有限零点截面, 那么$E$的欧拉类Poincaré对偶于$s$的零点的形式线性组合, 组合系数为重数.

欧拉示性数与Hopf指标定理

我们希望证明, $M$的欧拉数就是欧拉示性数.

设${\omegai}$为$H^\ast (M)$一组基, ${\tau_i}$为对偶基, 即$\int_M\omega_i\wedge \tau_j=\delta{ij}$. 设$\pi,\rho:M\times M\rightarrow M$为两个投射. 由Künneth公式, $H^\ast (M\times M)=H^\ast (M)\otimes H^\ast (M)$, 基为${\pi^\ast \omega_i\wedge\rho^\ast \tau_j}$. 称对角流形$\Delta ={(x,x)\in M\times M|x\in M}\subset M\times M$.

引理 7. 对角流形的Poincaré对偶$\eta_\Delta =\sum (-1)^{\deg \omega_i}\pi^\ast \omega_i\wedge \rho^\ast \tau_i$.

证: 用两种方法计算$\int\Delta \pi^\ast \tau_k\wedge\rho^\ast \omega_l$即可. $(-1)^{\deg \tau_k\cdot \deg \omega_l}\delta{lk}=(-1)^{\deg \omegak\cdot (\deg \omega_l+\deg \tau_k)}c{kl}$, 设$\eta\Delta = \sum{i,j}c_{ij}\pi^\ast \omega_i\wedge\rho^\ast \tau_j$.

引理 8. $N_{\Delta /M\times M}\simeq T\Delta$.

证: 只需注意到$M\approx \Delta$由$x\mapsto(x,x)$给出. 从而$T\Delta \cong TM$, $T(M\times M)|{\Delta}\cong TM\oplus TM$, 于是$N{\Delta/M\times M}\simeq TM\oplus TM/TM\simeq TM\simeq T\Delta$.

命题 9. 对紧定向流形$M$, $\int_M e(TM)=\chi (M)$.

证: 一方面, $\int\Delta i^\ast \eta\Delta =\int\Delta i^\ast \Phi(N\Delta)=\int\Delta e(N\Delta)=\int_\Delta e(T\Delta)=\int_M e(TM)$.

$\int\Delta i^\ast \eta\Delta =\int{M\times M}\eta\Delta \wedge \eta_\Delta$, 回忆两个横截相交闭子流形的交的Poincaré对偶等于这两个子流形的Poincaré对偶的外积, 因此该积分也称为$\Delta$在$M\times M$的自相交数.

另一方面, $\int\Delta i^\ast \eta\Delta=\sum_i(-1)^{\deg \omega_i}=\sum_q(-1)^q\dim H^q(M)=\chi(M)$. 由此得证.

自然得到:

定理 10 (Hopf指标定理). 紧定向流形$M$上光滑向量场指标和(奇异点的局部度数之和)等于$M$的欧拉示性数.

文章最后更新于 2021-11-24 13:33:55