《现代PDE基础》笔记(8)-数理方程

经典方程

回忆数理方程, 我们最常接触的是如下方程:

1. $-\Delta u=f,$ Poisson方程. 讨论边值问题, 边界条件为Dirichlet或Neumann型.

2. $u_{tt}-\Delta u=f,$ 波动方程. 无界区域上讨论Cauchy问题, 有界区域上讨论初边值问题. 需对$u$与$u_t$给定初始条件, 边界条件为Dirichlet或Neumann型.

3. $u_t-\Delta u=f,$ 热传导方程. 讨论内容基本同波方程, 初始条件只需对$u$给定.

考虑上述方程的一般化形式, 有如下线性方程, 讨论的问题与上面经典问题都是对应的, 不再重复. 系数都设为光滑的, 且满足椭圆性条件: $\sum_{ij=1}^n a_{ij(x)}\xi_i\xi_j\ge \alpha \Vert\xi\Vert^2,$ $\,\forall\,\xi\neq 0.$ 不妨设系数是对称的.

1. $Lu=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{ij}+\sum_{i=1}^n b_i(x)u_i+c(x)u=f,$ 二阶椭圆方程.

2. $u_{tt}-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(t,x)\frac{\partial {}u}{\partial {}x_j})+\sum_{i=1}^n b_i(t,x)\frac{\partial {}u}{\partial {}x_i}+c(t,x)u=f,$ 二阶双曲型方程.

3. $u_{t}-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(t,x)\frac{\partial {}u}{\partial {}x_j})+\sum_{i=1}^n b_i(t,x)\frac{\partial {}u}{\partial {}x_i}+c(t,x)u=f,$ 二阶抛物型方程.

我们从考虑经典解($C^2$解)转移到考虑弱解(广义函数解) (Weak Formulation). 由Stokes公式:

$$\int_\Omega d\omega=\int_{\partial\Omega} \omega,$$

我们有Gauss-Green公式:

$$\int_\Omega \partial_i fdx=\int_\Omega \nabla \cdot e_i fdx=\int_{\partial\Omega} n\cdot e_i \gamma fdS=\int_{\partial\Omega} n_i\gamma fdS.$$

其中$\gamma$为迹, 使得公式对更多函数成立. 进而我们有分部积分公式:

$$\int_{\Omega} \partial_i fgdx+\int_\Omega f\partial_i gdx=\int_\Omega{\partial_i (fg)}dx=\int_{\partial\Omega} n_i\gamma(fg)dS.$$

对偏微分方程的求解, 一种常用的方法是算子半群方法, 从而将问题转为求解无穷维ODE.

对偶算子

考虑Dirichlet齐次边界问题, $u\in H_0^1(\Omega).$ 作用测试函数$v\in H_0^1(\Omega)$到方程上:

$$\begin{aligned} \int_\Omega vLudx=&{\color{blue}\sum_{i,j=1}^n\int_{\Omega}\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(x)u_jv)dx}-\sum_{i,j=1}^n\int_{\Omega}u_j\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(x)v)dx\\ &+{\color{blue}\sum_{i=1}^n \int_\Omega \frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(b_i(x)uv)dx}-\sum_{i=1}^n \int_\Omega u\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(b_i(x)v)dx+\int_\Omega c(x)uvdx\\ =&-\sum_{i,j=1}^n\int_{\Omega}u_j\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(x)v)dx-\sum_{i=1}^n \int_\Omega u\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(b_i(x)v)dx+\int_\Omega c(x)uvdx\\ =&{\color{blue}\sum_{i,j=1}^n\int_{\Omega}\frac{\partial {} }{\partial {}x_j}\left(u\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(x)v)\right)dx}-\sum_{i,j=1}^n\int_{\Omega}u_j\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(x)v)dx\\\ &-\sum_{i=1}^n \int_\Omega u\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(b_i(x)v)dx+\int_\Omega c(x)uvdx\\ =&\sum_{i,j=1}^n\int_{\Omega}u\frac{\partial^2 {} }{\partial {}x_i\partial {}x_j}(a_{ij}(x)v)dx-\sum_{i=1}^n \int_\Omega u\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(b_i(x)v)dx+\int_\Omega c(x)uvdx\\ =&\int_\Omega uL^*vdx. \end{aligned}$$

推导中多次用到Gauss-Green公式. 由于函数具齐次边界条件, 边界项(蓝色项)全部消失. 由此我们得到了对偶算子$L^\ast .$

类似地, 对双曲型, 抛物型方程, 我们也有对偶算子:

$$M^\ast v=\frac{\partial {}^2v}{\partial {}t^2}-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(x)v_j)-\sum_{i=1}^n\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(b_i(x)v)+c(x)v,$$ $$M^\ast v=-\frac{\partial {}v}{\partial {}t}-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(a_{ij}(x)v_j)-\sum_{i=1}^n\frac{\partial {} }{\partial {}x_i}(b_i(x)v)+c(x)v.$$

对偶算子的重要性在于, 由泛函分析, 有如下重要命题:

命题 1. 对Hilbert空间$H,$ 有界线性算子$A:H\rightarrow H,$ 问题$Ax=b,$ $\,\forall\,b\in H$的存在性, 等价于问题$A^\ast y=0$的唯一性(即只有零解).

证: 存在性$\Rightarrow$唯一性: $\,\forall\,y$使得$A^\ast y=0,$ 存在$x$使得$Ax=y.$ 因此,

$$0=(x,A^\ast y)=(Ax,y)=(y,y) \,\Rightarrow\, y=0.$$

唯一性$\Rightarrow$存在性: 对$b\in H,$ 只需找$x$满足:

$$(Ax,y)=(b,y),\quad \forall y\in H.$$

取$A^\ast :H\rightarrow B=\operatorname{Im} A^\ast ,$ 为连续线性算子.它是单射因为$A^\ast y=0$只有零解. 由逆算子定理, $(A^\ast )^{-1}:B\rightarrow H$也是连续线性算子.

定义连续线性泛函$l_b:B\rightarrow \mathbb{R}$:

$$l_b(v)=(b,(A^\ast )^{-1}v)=(b,u),$$

这里$A^\ast u=v.$ 由Riesz表示定理, 存在$x\in B$使得$l_b(v)=(x,v).$ 因此对任意$y\in H:$

$$l_b(A^\ast y)=(b,y)=(x,A^\ast y)=(Ax,y).$$

这说明我们找到的$x\in B$正是$Ax=b$的解.

能量方法

乘子法

由对偶算子, 在大多数情形, 我们只需处理唯一性的证明, 而这是容易的. 通常采用能量方法, 通过求导由能量守恒说明唯一性. 能量方法往往来源于乘子法. 对椭圆方程, 考虑能量形式$\int uLu$(势能); 对波动方程, 考虑能量形式$\int u_t Mu$(动能); 对热传导方程, 考虑能量形式$\int uMu$(势能).

以椭圆方程为例. 对$u\in H_0^1(\Omega),$ 我们有:

$$\begin{aligned} -\int_\Omega uLudx=&\int_\Omega \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)u_iu_jdx+\int_\Omega \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial {}a_{ij} }{\partial {}x_j}-b_i(x)\right)u_iudx-\int_\Omega c(x)u^2dx\\ \ge &\int_\Omega \alpha \sum_{i=1}^n u_i^2dx-\int_\Omega C'\sum_{i=1}^n \left(\frac{\alpha}{2C'} u_i^2+\frac{C'}{2\alpha}u^2\right)dx-\int_\Omega C''u^2dx\\ \ge &\frac{\alpha}{2}\Vert\nabla u\Vert-C\Vert u\Vert. \end{aligned}$$

过程中用到了不等式$2ab\le \varepsilon a^2+\frac{1}{\varepsilon} b^2.$ 该不等式称为Garding不等式:

定理 2 (Garding不等式). 设$\Omega$为$\mathbb{R}^n$中有界区域, 边界光滑. 若$L$为二阶椭圆型算子, 则$\,\forall\,u\in H_0^1(\Omega),$ 有如下不等式:

$$\operatorname{Re}(-Lu,u)_{L^2(\Omega)}\ge C_1\Vert u\Vert_{1}^2-C_2\Vert u\Vert^2.$$

其中系数可以具体计算出来. 当$C_2\le 0$时, 对问题$Lu=0$考虑唯一性:

$$C_1\Vert u\Vert_{1}^2-C_2\Vert u\Vert^2\le 0\,\Rightarrow\, u\equiv 0.$$

对线性方程, $Lu=0$的唯一性与$Lu=f$的唯一性当然是等价的.

特征问题

一般地, $C_2$不见得非正. 但是对充分大的$\Lambda\in \mathbb{R},$ 考虑$(-L+\Lambda)u=0$就可以强行将Garding不等式中右侧项调至非负, 此时问题解具有唯一性. 因此可以在像空间定义逆算子$(-L+\Lambda)^{-1}.$ 我们进行如下推导:

$$\begin{aligned} C_1\Vert u\Vert^2_{1}&\le \left<{}(-L+\Lambda)u,u\right>\\ &\le \Vert(-L+\Lambda)u\Vert\Vert u\Vert\le \Vert(-L+\Lambda)u\Vert\Vert u\Vert_{H^1}\\ \Vert u\Vert_{1}&\le C_3\Vert(-L+\Lambda)u\Vert\\ \Vert(-L+\Lambda)^{-1}v\Vert_{1}&\le C_3 \Vert v\Vert \end{aligned}$$

因此$(-L+\Lambda)^{-1}$为有界算子. 由于$H_0^1\stackrel{c}\hookrightarrow L^2$为紧嵌入, 它还是紧算子. 其特征值可列, $\mu_i\rightarrow 0.$

考虑特征问题:

$$\begin{aligned} -Lu&=\lambda u\\ (-L+\Lambda)u&=(\lambda+\Lambda)u\\ \frac{1}{\lambda+\Lambda}u&=(-L+\Lambda)^{-1}u=\mu u\\ \end{aligned}$$

因此$-L$特征值也是可列的, 且$\mu_i=\frac{1}{\lambda_i+\Lambda}\rightarrow 0$ $\Rightarrow$ $\lambda_i\rightarrow \infty,$ 特征值趋于无穷.

文章最后更新于 2021-12-05 20:30:25