《黎曼几何初步》笔记(2)-协变微分与曲率张量

协变微分

张量

回忆$T^r_s(V):=\underbrace{V\otimes \cdots\otimes V}_{r}\otimes \underbrace{V^\ast \otimes \cdots\otimes V^\ast }_{s},$ $T^\ast (V):=\bigoplus\limits_{r,s} T^r_s(V).$ 若有同构$\varphi:V\rightarrow W,$ 我们有伴随同构$\varphi^\ast :W^\ast \rightarrow V^\ast ,$ 诱导了$\widetilde{\varphi}:T^r_s(V)\rightarrow T^r_s(W),$

$\widetilde{\varphi}(v_1\otimes\cdots\otimes v_r\otimes \alpha^1\otimes \cdots\otimes \alpha^s)=\varphi(v_1)\otimes\cdots\otimes \varphi(v_r)\otimes (\varphi^\ast )^{-1}(\alpha^1)\otimes\cdots\otimes (\varphi^\ast )^{-1}(\alpha^s),$

显然利用线性性, 可以将$\widetilde\varphi$推广定义到$T^\ast (V)\rightarrow T^\ast (W)$上.

协变导数

上节我们有平移同构$P_t:T_{\gamma(0)}M\rightarrow T_{\gamma(t)}M.$ 记$T_xM$为$M_x,$ 我可以取$\widetilde{P_t}:T^\ast (M_{\gamma(0)})\rightarrow T^\ast (M_{\gamma(t)})$为诱导同构. 由上节注记, 定义$D_vK:=\frac{d {} }{d {}t}[\widetilde{P_t}^{-1}(K(\gamma(t)))]_{t=0},$ 称为张量场$K$关于$v$的协变导数. 可以证明它与$\gamma$选取无关.

取好张量场的一组平行基后, 协变导数便化为通常的导数. 因此我们有如下性质:

若$K$为$(r,s)$型, 则$D_vK$也是$(r,s)$型;
$D_v$是作用在张量场代数上的一个导子, 即$D_v(K_1\otimes K_2)=(D_vK_1)\otimes K_2+K_1\otimes (D_vK_2).$
$D_v$和缩并可交换, 这里缩并$\mathscr{C}$指共变与反变部分相消, 使张量降两阶, 如$\mathscr{C}(X\otimes \alpha\otimes \omega)=\omega(X)\alpha,$ $X\in V,$ $\alpha,\omega\in V^\ast .$ 该交换性表示为: $D_v (\mathscr{C}K)=\mathscr{C}(D_vK).$
$D_vK$仅依赖于$K,$ 与曲线$\gamma$选取无关.

最后一条性质的证明只需说明$D_v\eta$与$\gamma$选取无关即可, $\eta$为$1$-形式. 这一点利用性质$2,3,$ 再结合$D_vX$确实与$\gamma$选取无关即可. 由性质$4,$ 我们可以对每个张量场$K,$ 向量场$X,$ 定义新的张量场$D_XK:$ $D_XK(x)=D_{X(x)}K.$

协变微分

$D_XK$关于$X$是$\mathscr{F}$线性的, 因此可以定义$(r,s+1)$型张量场$DK:$

$(\omega^1,\cdots,\omega^r,X_1,\cdots,X_s,X)\mapsto (D_XK)(\omega^1,\cdots,\omega^r,X_1,\cdots,X_s).$

$DK$称为$K$的协变微分. 容易看出, 对函数$f,$ 有$Df=df,$ 它是微分的推广. 一般地, 记$D^nK=D(D^{n-1}K),$ 但需注意, 一般来说不见得有$D^2K(\cdots,X,Y)=D_YD_XK(\cdots),$ 如计算可得对函数$f,$

$D^2f(X,Y)=(D_Y(df))(X)=YXf-(D_YX)f.$

特别地, 可以看到:

$D^2f(X,Y)-D^2f(Y,X)=((D_XY-D_YX)-[X,Y])f=T(X,Y)f.$

于是若$D$是一个对称联络, 那么$T(X,Y)\equiv 0,$ $D^2f(X,Y)=D^2f(Y,X),$ $D^2f$是一个对称的二阶协变张量场, 称为$f$的Hessian.

Laplace算子

对任意二阶协变对称张量场$S$, 取$\operatorname{tr}S(x)=\sum_i S(e_i,e_i),$ 这与标准正交基$\{e_i\}$选取无关. 定义$\Delta f=\operatorname{tr}D^2 f,$ 称为作用在函数上的Laplace算子. 具体展开, 它有如下形式:

$\Delta f= g^{ij}D^2f\left(\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}\right)=\frac{1}{\sqrt{G} }\frac{\partial {} }{\partial {}x^k}\left(g^{ik}\sqrt{G}\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}\right).$

练习

习题 1. 在具联络$D$的流形$M$上, 称张量场$K$是平行的, 若$DK\equiv 0.$ 证明度量$g$作为二阶协变对称张量是平行的.

证: 即$\,\forall\,v,X,Y,$ $(D_vg)(X,Y)=0.$ 由导子性与和缩并可交换性, 我们有:

$D_v(g\otimes X\otimes Y)=D_vg \otimes X\otimes Y+g\otimes D_vX\otimes Y+g\otimes X\otimes D_vY.$ $vg(X,Y)=(D_vg)(X,Y)+g(D_vX,Y)+g(X,D_vY).$

回忆联络的性质(L1), $vg(X,Y)=g(D_vX,Y)+g(X,D_vY),$ 因此的确有$(D_vg)(X,Y)=0,$ 从而度量$g$是平行的张量场.

习题 2. 写出Laplace算子的展开过程.

证: 设$A^{ij}\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}=e_i,$ 则$A^{ij}=\sqrt{g}^{ij}$时, $\{e_i\}$构成标准正交基.

$\Delta f=\sum_i D^2f\left(\sqrt{g}^{ij}\frac{\partial {} }{\partial {}x^j},\sqrt{g}^{ik}\frac{\partial {} }{\partial {}x^k}\right)=g^{jk}D^2f\left(\frac{\partial {} }{\partial {}x^j},\frac{\partial {} }{\partial {}x^k}\right)$ $D^2f\left(\frac{\partial {} }{\partial {}x^j},\frac{\partial {} }{\partial {}x^k}\right)=\frac{\partial^2 {}f}{\partial {}x^j\partial {}x^k}-\left(D_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^k} }\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}\right)f$ $D_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^k} }\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}=\Gamma_{jk}^i\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}=\frac{g^{li} }{2}\left(\frac{\partial {}g_{jl} }{\partial {}x^k}+\frac{\partial {}g_{kl} }{\partial {}x^j}-\frac{\partial {}g_{jk} }{\partial {}x^l}\right)\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}$

于是, 我们有:

$\begin{aligned} \Delta f&=g^{jk}\frac{\partial^2 {}f}{\partial {}x^j\partial {}x^k}-\frac{g^{jk}g^{li} }{2}\left(\frac{\partial {}g_{jl} }{\partial {}x^k}+\frac{\partial {}g_{kl} }{\partial {}x^j}-\frac{\partial {}g_{jk} }{\partial {}x^l}\right)\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}\\ &=g^{ik}\frac{\partial^2 {}f}{\partial {}x^i\partial {}x^k}-g^{il}\frac{\partial {}g_{lj} }{\partial {}x^k}g^{jk}\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}+\frac{g^{jk}g^{li} }{2}\frac{\partial {}g_{jk} }{\partial {}x^l}\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}\\ &=g^{ik}\frac{\partial^2 {}f}{\partial {}x^i\partial {}x^k}+\frac{\partial {}g^{ik} }{\partial {}x^k}\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}+g^{ik}\frac{g^{lj} }{2}\frac{\partial {}g_{jl} }{\partial {}x^k}\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}\\ &=\frac{1}{\sqrt{G} }\frac{\partial {} }{\partial {}x^k}\left(g^{ik}\sqrt{G}\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}\right). \end{aligned}$

其中用到了如下矩阵求导的恒等式:

$\frac{d {}A^{-1}(t)}{d {}t}=-A^{-1}(t)A'(t)A^{-1}(t),$ $\frac{d {}\det A(t)}{d {}t}=\det(A(t))\operatorname{tr}(A^{-1}(t)A'(t)).$

曲率张量

曲率算子

记$\mathscr{T}^\ast $为$M$上所有张量场对应于$C^\infty$代数所形成的模. 则对任意给定向量场$X,$ 协变导数$D_X$为$\mathscr{T}^\ast $的一个导子. 现对给定向量场$X,Y,$ 定义映射:

$R_{XY}=D_{[X,Y]}-(D_XD_Y-D_YD_X)=D_{[X,Y]}-[D_X,D_Y].$

称$R_{XY}$为由$X,Y$定义的曲率算子, 具有如下性质:

(1) $R_{XY}$为$\mathscr{T}^\ast $的一个导子;

(2) $R_{XY}$保持张量场的类型;

(3) $\,\forall\,$函数$f,$ 张量场$K,$ 有$R_{(fX)Y}K=R_{X(fY)}K=R_{XY}fK=fR_{XY}K;$

(4) $\,\forall\,$函数$f,$ 有$R_{XY}f=0.$

由代数中的结论, 若$D_1,D_2$为导子, 则Lie括号$[D_1,D_2]$也是导子. 由此说明了性质(1). 性质(2)由协变导数基本性质即得. 性质(3)经由常规计算得. 性质(4)由联络的基本性质即得.

曲率张量

由(2),(3)知, 对向量场$X,Y,Z,$ $R_{XY}Z$也是向量场, 且关于每个变量都是$\mathscr{F}$线性的. 从而它决定了一个$(1,3)$型张量场:

$(\omega,X,Y,Z)\mapsto \omega(R_{XY}Z),$

等价地, 也可以将它视为一个$(0,4)$型张量场:

$R(X,Y,Z,W):=\left<{}R_{XY}Z,W\right>.$

称$R_{XY}Z$或$R(X,Y,Z,W)$为黎曼度量的曲率张量. 它刻画了流形”空间弯曲”的性质.

性质

曲率张量是度量的二阶不变量, 即它包含度量张量$g$的二阶导数. 记$g_{ij}=g\left(\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}\right),$ $R_{ijkl}=R\left(\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},\frac{\partial {} }{\partial {}x^j},\frac{\partial {} }{\partial {}x^k},\frac{\partial {} }{\partial {}x^l}\right),$ 计算得到

$R_{ijkl}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 {}g_{il} }{\partial {}x^j\partial {}x^k}+\frac{\partial^2 {}g_{jk} }{\partial {}x^i\partial {}x^l}-\frac{\partial^2 {}g_{ik} }{\partial {}x^j\partial {}x^l}-\frac{\partial^2 {}g_{jl} }{\partial {}x^i\partial {}x^k}\right)+g_{rs}\left(\Gamma_{jk}^r\Gamma_{il}^s-\Gamma_{jl}^r\Gamma_{ik}^s\right).$

这意味着, 曲率张量是度量张量的非线性函数. 这将是我们理解曲率张量主要的障碍.

引理 1. 对向量场$X,Y,Z,W,$ 我们有:

(1) $R_{XY}=-R_{YX};$

(2) $R_{XY}Z+R_{YZ}X+R_{ZX}Y=0$(第一Bianchi恒等式);

(3) $R(X,Y,Z,W)=-R(X,Y,W,Z);$

(4) $R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y).$

证: 由于曲率算子$R$关于向量场是$C^\infty$多重线性的, 只需考虑$R_{ijkl}$是否满足性质即可. 性质(1)是即得的. 对于坐标向量场, Lie括号$[\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}]\equiv 0,$ $R_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}\frac{\partial {} }{\partial {}x^j} }=-[D_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^i} },D_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^j} }].$ 又由Levi-Civita联络性质, $D_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^i} }\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}=D_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^j} }\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},$ 结合前式即有性质(2).

性质(3)由前面的$R_{ijkl}$表达式得到, 也等价于$R_{ijkk}=0.$ 性质(4)是性质(1)-(3)的代数推论, 当然也可由$R_{ijkl}$表达式得到.

现考虑$R_{XY}:M_x\rightarrow M_x$为线性变换, 由性质(3), 它相对于$M_x$上的内积来说是反对称的. 进而, 考虑定义在$M_x\oplus M_x$上的函数

$Q(X,Y):=R(X,Y,X,Y),$

称$Q$为$R$的相配二次型.

引理 2. $Q$完全确定了曲率张量. 对两个满足引理$1$条件的张量场, 若它们的相配二次型相同, 则它们本身也相同.

证: 只需证明若张量场$R$决定的$Q=0,$ 则$R=0.$ 首先由定义与性质(4),

$Q(X,Y),Q(X,W),Q(X,Y+W)=0\Rightarrow R(X,Y,X,W)+R(X,W,X,Y)=2R(X,Y,X,W)=0.$

由于对任意向量场$W$成立, $R_{XY}X=0.$ 类似地, 可以得到

$R_{(X+Z)Y}(X+Z)=R_{XY}Z+R_{ZY}X=0.$

由第一Bianchi恒等式, $R_{XY}Z+R_{YZ}X+R_{ZX}Y=0,$ 结合曲率算子反对称性, $2R_{ZY}X=R_{ZX}Y.$ 而同理我们有$R_{YZ}X+R_{XZ}Y=0,$ 代入得到$3R_{YZ}X=0.$ 由向量场选取任意性, $R=0.$

引理 3 (第二Bianchi恒等式). $(D_XR)_{YZ}+(D_YR)_{ZX}+(D_ZR)_{XY}=0.$

证: 只需对坐标向量场讨论即可. 此时$D_XY=D_YX,$ $R_{XY}=-D_XD_Y+D_YD_X.$ $R$是张量场, 我们有:

$D_X(R_{YZ}W)=(D_XR)_{YZ}W+R_{D_XY,Z}W+R_{Y,D_XZ}W+R_{YZ}(D_XW).$

轮换$X,Y,Z$即可得到结论.

引理 4 (Ricci恒等式). 若$T$为一个张量场, 则

$D^2T(\cdots,X,Y)-D^2T(\cdots,Y,X)=(R_{XY}T)(\cdots).$

证:

$D^2T(\cdots,X,Y)=(D_Y(DT))(\cdots,X)=D_YD_XT(\cdots)-D_{D_YX}T(\cdots).$

交换$X,Y$后做差发现恰好得到等式.

特别地, 当$T$为函数时, 得到了前面$D^2f$对称的结论. 该等式是更一般的推广.

练习

习题 3. 等距变换保持Levi-Civita联络, 进而它保持曲率张量.

证: 设$\varphi:M\rightarrow N$为等距变换, 在$M$上定义联络$\widetilde{D}_XY=(d\varphi)^{-1}D’_{d\varphi(X)}d\varphi(Y),$ 显然它确实是一个联络. 只需证明其满足Levi-Civita联络的性质, 由唯一性即得$D_XY=\widetilde{D}_XY=D’_{d\varphi(X)}d\varphi(Y).$

$\begin{aligned} X\left<{}Y,Z\right>&=d\varphi(X)\left<{}d\varphi(Y),d\varphi(Z)\right>\\ &=\left<{}D'_{d\varphi(X)}d\varphi(Y),d\varphi(Z)\right>+\left<{}d\varphi(Y),D'_{d\varphi(X)}d\varphi(Z)\right>\\ &=\left<{}\widetilde{D}_XY,Z\right>+\left<{}Y,\widetilde{D}_XZ\right> \end{aligned}$ $\begin{aligned} \widetilde{D}_XY-\widetilde{D}_YX=&(d\varphi)^{-1}(D'_{d\varphi(X)}d\varphi(Y)-D'{D\varphi(Y)}d\varphi(X))\\ =&(d\varphi)^{-1}[d\varphi(X),d\varphi(Y)]\\ =&[X,Y]=XY-YX \end{aligned}$

因此该联络确实满足Levi-Civita联络的性质. 由于联络决定了曲率张量, 等距变换也是保持曲率张量不变的.

曲率

截面曲率

一般地, 我们对$Q$做归一化处理. 设$\Pi$为$M_x$的一个二维子空间, $\{v_1,v_2\}$为其任意一组基, 则定义$\Pi$的截面曲率为

$K(\Pi):=\frac{R(v_1,v_2,v_1,v_2)}{|v_1\wedge v_2|^2},$

容易看到, $K$与二维子空间的基选取无关. 特别地, 若选取一组标准正交基$\{e_1,e_2\},$ $K(\Pi)=R(e_1,e_2,e_1,e_2).$ 由前面的引理, 若我们知道所有二维子空间的截面曲率, 就等价于知道了曲率张量. 截面曲率自然和曲率张量一样, 都是度量不变量, 在等距变换下保持.

对二维黎曼流形$M,$ 我们熟知有高斯曲率$K.$ 此时高斯曲率与上述的截面曲率是一致的. 因此可以说截面曲率是高斯曲率的推广. 特别地, 注意到高斯曲率同样是内蕴的. 这便是高斯绝妙定理.

称$\mathbb{R}^n$上通常的度量是平坦的. 此时$\,\forall\,X,Y,Z,$ $R_{XY}Z=0,$ 曲率张量恒为零. 反之, 我们后面会证明若黎曼流形$M$曲率张量为零, 它必局部等距于配备平坦度量的$\mathbb{R}^n.$ 称这样的流形是平坦的.

对于$n$维球面$S^n,$ 由于任意两点处任意两个二维切平面间存在一个等距变换, 可以证明它是具常截面曲率的.

Ricci张量

Ricci张量为一个二阶协变张量场, 定义为:

$\operatorname{Ric}(X,Y):=\sum_i R(e_i,X,e_i,Y),$

$\{e_i\}$为$M_x$任意一组标准正交基. 由$R$的多重线性性, 它与基选取无关. 且由其性质, Ricci张量是对称的, 即$\operatorname{Ric}(X,Y)=\operatorname{Ric}(Y,X).$

在$M$的切单位球面上, 定义函数$X\mapsto \operatorname{Ric}(X,X),$ 称为在向量$X$下的Ricci曲率. 若$X=e_1$在选取的基中, 则$\operatorname{Ric}(X,X)=\sum_{i=2}^n R(e_i,e_1,e_i,e_1),$ 是$n-1$个截面曲率的和.

数量曲率$s$定义为$\operatorname{Ric}$的迹, $s(x):=\sum_{i,j}R(e_i,e_j,e_i,e_j),$ 是幺正基中$n$个向量所张成的各种可能的二维平面截面曲率之和.

文章最后更新于 2022-02-14 15:31:56