《黎曼几何初步》笔记(3)-测地线

指数映射

测地线

回忆$\gamma:[0,1]\rightarrow M$为测地线的充要条件是$D_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.$ 因此若$\gamma$为测地线, 对内积求导可知$|\dot\gamma|$为常数. 因此通过参数变换, 不妨总假定其具单位切向量, 是弧长参数化的. 称其为正规的测地线.

定义

接下来我们引入指数映射的概念. 粗略地说, $x\in M$处的指数映射$\exp:M_x\rightarrow M$定义如下: 任给$v\in M_x,$ 从$x$出发,沿以$v$为初始切向量的测地线$\gamma_v$走到$y,$ 使得$x$到$y$弧长恰为$|v|.$ 那么由$\exp_xv=y$来定义指数映射. 直观看来, $M_x$原点邻域上是可以定义的, 但未必能定义在整体上. 后面将说明指数映射能整体定义等价于要求黎曼流形$M$是完备的.

上述直观在几何上的证明相当笨拙, 用微分方程的方式说明更为简便. 回忆测地线由常微分方程组确定:

$\frac{d {}^2\gamma^i}{d {}t^2}+\Gamma^i_{jk}\frac{d {}\gamma^j}{d {}t}\frac{d {}\gamma^k}{d {}t}=0,\quad \,\forall\,i=1,\cdots,n.$

由ODE基本定理, $\,\forall\,x\in M,$ $\varepsilon>0,$ $\,\exists\,x$的邻域$\mathscr{U}\subset M$以及$\delta>0,$ 使得$\,\forall\,y\in \mathscr{U},$ $v\in B_y(\delta)\subset M_y,$ 存在初始切向量为$v$的测地线$\gamma_v,$ 定义域包含$[0,\varepsilon].$

注意到参数线性变换后的测地线仍是测地线, 因此得到下述命题:

$\,\forall\,x\in M,$ $\,\exists\,x$的邻域$\mathscr{U}\subset M,$ $\omega>0,$ $\,\forall\,y\in \mathscr{U},$ $v\in B_y(\omega)\subset M_y,$ 存在以$v$为初始切向量的测地线$\gamma_v,$ 定义域包含$I=[0,1].$

此时由$\exp_x v=\gamma_v(1)$定义的$\exp_x:B_x(\omega)\rightarrow M$就是满足前述定义的指数映射. 同时, 它可定义在切丛$TM$中的开集$U:=\mathscr{U}\times B(\omega)$上, 由$\exp(y,v):=\exp_y v$给出$\exp:U\rightarrow M.$ 由解对参数的依赖性可知指数映射$\exp$是光滑的.

性质

下面我们说明在小邻域上, 指数映射$\exp_x$是一个微分同胚. 由于$M_x\cong \mathbb{R}^n,$ 其上的切空间自然地等于$M_x$本身. 考虑$(d\exp_x)_O:M_x\rightarrow M_x,$ 容易验证其为恒等映射. 这样它是非奇异的, 从而$\exp_x$在原点邻域的确是微分同胚. 容易证明它在大范围上的叙述:

引理 1. $\,\forall\,K\Subset M,$ $\,\exists\,\varepsilon>0,$ $\,\forall\,x\in K,$ $\exp_x$在$B_x(\varepsilon)$上为微分同胚.

接下来讨论测地线的局部最短性质. 下面默认固定$x,$ 将$x$的下标略去. 设$\exp$在$B(\delta)$上为微分同胚. 记$B_\delta:=\exp B(\delta).$ $\,\forall\,v\in B(\delta),$ 称径向线段$c(t):=tv:[0,1]\rightarrow B_\delta$在指数映射$\exp$下的像为$B_\delta$中的径向测地线. 我们将证明下述定理:

定理 2. 设分段$C^\infty$曲线$\sigma$连接$x,y\in B_\delta.$ 若$\xi$为连接$x,y$的径向测地线, 则$L(\sigma)\ge L(\xi),$ 等号成立当且仅当$\sigma$为$\xi$的单调再参数化.

我们注意到在欧氏空间中这是显然的, 证明只需将曲线的切向量分解为径向分量和球面切向分量即可. 显然没有球面切向时是最短的, 且需要径向分量保持正向. 为了将证明搬到流形上, 需要考虑如何取球面以及做分解.

在$M_x\setminus\{0\}$中定义向量场$\mathscr{R}:$

$\mathscr{R}(v)=\frac{v}{|v|},\quad v\in M_x\setminus\{0\}.$

引理 3. $|d\exp(\mathscr{R})|\equiv 1$

证: $\,\forall\,v\in M_x\setminus\{0\},$ 取$\gamma$为$M$中正规测地线, 以$\frac{v}{|v|}$为初始切向量. 那么$\exp(v)=\gamma(|v|),$

$|d\exp(\mathscr{R}(v))|=|\dot{\gamma}(|v|)|=|\dot{\gamma}(0)|=1.$

引理 4 (Gauss引理). $\,\forall\,t<\delta,$ 令$S_t:=\exp(S(t))$为$B_\delta$中半径为$t$的测地球面, 则径向测地线正交于每一个$S_t.$ 即$d\exp(\mathscr{R})$垂直于$S_t$的切空间.

证: 由于$\exp$是微分同胚, 可以取到如下微分同胚:

$F:S^{n-1}\times(0,\delta)\rightarrow B_\delta\setminus\{x\},$

其中$S^{n-1}=S(1)$为$M_x$中单位球面. $F(p,t):=\exp(tp).$ 对每个固定的$t,$ $F$将$S^{n-1}\times\{t\}$微分同胚地映至$S_t.$ 取$S^{n-1}$局部坐标系$\{y^i\},$ $r$为$(0,\delta)$上的自然参数, 记$R=dF\left(\frac{\partial {} }{\partial {}r}\right),$ $Y_i=dF\left(\frac{\partial {} }{\partial {}r}\right),$ 则只需证$\left<{}Y_i,R\right>=0.$

$\begin{aligned} R\left<{}Y_i,R\right>&=\left<{}D_RY_i,R\right>+\left<{}Y_i,D_RR\right>\\ &=\left<{}D_{Y_i}R,R\right>&D_RY_i-D_{Y_i}R=[R,Y_i]=dF\left[\frac{\partial {} }{\partial {}r},\frac{\partial {} }{\partial {}y_i}\right], D_RR=0\\ &=\frac{1}{2}Y_i\left<{}R,R\right>=0&|R|\equiv 1 \end{aligned}$

因此$\left<{}Y_i,R\right>$沿径向测地线为常数. 由于当$z\rightarrow x$时, $Y_i(z)\rightarrow 0,$ $\left<{}Y_i,R\right>\rightarrow 0.$ 因此 $\left<{}Y_i,R\right>\equiv 0.$

有了这两个引理, 就可以仿照欧氏空间, 将定理的证明搬运到流形上了. 只需将曲线的切向量分解为$d\exp(\mathscr{R})$与$S_t$切空间上的分量, 求长度, 说明只具$d\exp(\mathscr{R})$上分量且保持正向时, 曲线最短即可. 特别地, 此时曲线即为径向测地线的单调再参数化.

由该定理可知, 最短线一定是测地线, 不然局部上可以取测地线将曲线改造得更短. 但反过来不一定成立, 测地线不见得是最短的, 如考虑球面与圆柱面上的测地线.

度量完备性

事实上, 流形上并不见得存在最短线, 如圆盘挖去中心点. 这就牵涉到流形完备性的讨论. 我们现在在$M$上引入距离空间结构, 通常也叫度量空间结构.

定义$d(x,y)=\inf_{\gamma}L(\gamma),$ $\gamma$为连接$x,y$的$C^\infty$曲线. 断言$d$是$M$上的距离. 只需证明$x\neq y$时, $d(x,y)\neq 0.$ 这并不是显然的, 因为定义里涉及到了下确界. 不过由前面的测地线局部最短性质, 下确界局部上是可以达到的. 因此接下来只要说明$y\not\in B_\delta,$ $d(x,y)\ge \delta>0$即可, 而这是容易说明的.

由于度量$g_{ij}$是连续变换的, 它的最小最大特征值也是, 从而紧集上有$\varepsilon|v|^2\le g_{ij}v^iv^j\le \alpha|v|^2.$ 这能够说明距离空间$(M,d)$与原先流形上的拓扑是一致的. 称黎曼流形$M$是完备的, 若$(M,d)$是一个完备的距离空间.

定理 5 (Hopf-Rinow定理). 在一个黎曼流形中, 下述条件是等价的:

$M$是完备的.
$\,\forall\,x\in M,$ $\exp_x$定义在整个$M_x$上.
$\,\exists\,x\in M,$ $\exp_x$定义在整个$M_x$上.
$M$中每个有界闭集是紧的.

证: 我们来证明$(1)\Rightarrow(2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (4)\Rightarrow (1),$ 不过只有$(1)\Rightarrow (2),$ $(3)\Rightarrow (4)$不是那么平凡的.

对于$(1)\Rightarrow (2),$ 只需说明每条正规测地线能无限延伸. 倘若测地线只能延伸到$(a,b),$ 那么由完备性, $x=\lim\limits_{t\rightarrow b}\gamma(t)\in M.$ 那么在$x$点附近就可以延伸测地线了.

$(3)\Rightarrow (4)$是较为困难的. 首先考虑已有的$\exp_x:M_x\rightarrow M.$ 记$\overline{B}_r:=\exp_x\overline{B(r)},$ 那么紧集的连续像也是紧的. 对任意有界闭集$K,$ 只需证明$\,\exists\,\overline{B}_r\supset K,$ 这样紧集中闭集也是紧的. 为此我们证明如下命题: $\,\forall\,y\in M,$ 存在最短测地线连接$x,y.$ 这样有界集便总能被某个测地球包含.

$\,\forall\,y\in M,$ 设$d(x,y)=r.$ 取$\delta>0$使得$\overline{B}_{\delta}$上指数映射是微分同胚. 取$x_\delta\in S_\delta=\partial B_\delta,$ 使得$d(x_\delta,y)$达到最小. 那么$x_\delta=\exp{\delta v},$ $|v|=1.$ 断言由$v$引出的测地线$\gamma(t)=\exp(tv)$满足$\gamma(r)=y.$ 这样测地线$\gamma$即是连接$x,y$的最短曲线, 命题得证.

我们采用连续性方法证明. 记$A:=\{s\in[0,r]:d(\gamma(s),y)=r-s\}.$ 首先$0\in A,$ $A$非空. 其次由连续性$A$当然是闭的. 只需证明$A$是开的, 即有$A=[0,r].$ 这样就推得了$\gamma(r)=y.$

$\,\forall\,s\in A,$ 考虑$\gamma(s)$处的$\overline{B}_{\delta’},$ 使得指数映射在其上为微分同胚. 取$x_{\delta’}\in S_{\delta’}$使得$d(x_{\delta’},y)$达到最小. 欲证$d(\gamma(s+\delta’),y)=r-s-\delta’.$ 已知

$d(\gamma(s),x_{\delta'})=\delta', \quad d(\gamma(s),y)=r-s=\delta'+\min_{x'\in S_{\delta'} }d(x',y),$

因此$d(x_{\delta’},y)=r-s-\delta’,$ 只需说明$\gamma(s+\delta’)=x_{\delta’}.$ 注意到

$d(x,x_{\delta'})\ge d(x,y)-d(x_{\delta'},y)=s+\delta',$

而连接$x\sim\gamma(s),$ $\gamma(s)\sim x_{\delta’}$的两段测地线拼接起来刚好弧长为$s+\delta’.$ 回忆最短线一定是测地线, 因此这个分段曲线是测地线. 由测地线的分析性质, 曲线实际上是整体不分段的, 故连接$\gamma(s)\sim x_{\delta’}$的部分就是$\gamma(s)$处测地线的延伸, 从而$\gamma(s+\delta’)=x_{\delta’}.$ 至此论证完毕.

在证明过程中, 我们看到了如下推论:

推论 6. 在一个完备的黎曼流形中, 任意两点均可用一条最短测地线连接.

推论 7. 在一个完备的黎曼流形$M$中, $\exp_x:M_x\rightarrow M$是满的, $\,\forall\,x\in M.$

文章最后更新于 2022-03-13 18:52:14