论文笔记-渐进平坦流形上的椭圆型方程

The Mass of an Asymptotically Flat Manifold - Robert Bartnik

带权Sobolev空间

我们首先在$\mathbb{R}^n,$ $n\ge 3$中讨论. 记$r=|x|,$ $\sigma=\sqrt{1+r^2},$ 分别在$L_{\mathrm{loc} }^p(\mathbb{R}^n),$ $L_{\mathrm{loc} }^p(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})$中定义带权Lebesgue空间:

$$L_\delta^p:\quad \Vert u\Vert_{p,\delta}= \left\{ \begin{aligned} &\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u|^p\sigma^{-\delta p-n}dx\right)^{\frac{1}{p} },&p<\infty,\\ &\operatorname{ess}\operatorname{sup}_{\mathbb{R}^n}(\sigma^{-\delta}|u|), &p=\infty, \end{aligned} \right.$$ $${L'}_\delta^p:\quad \Vert u\Vert'_{p,\delta}= \left\{ \begin{aligned} &\left(\int_{\mathbb{R}^n\setminus\{0\} }|u|^pr^{-\delta p-n}dx\right)^{\frac{1}{p} },&p<\infty,\\ &\operatorname{ess}\operatorname{sup}_{\mathbb{R}^n\setminus\{0\} }(r^{-\delta}|u|), &p=\infty, \end{aligned} \right.$$

接下来, 定义带权Sobolev空间:

$$W_\delta^{k,p}:\quad \Vert u\Vert_{k,p,\delta}=\sum_{j=0}^k\Vert D^ju\Vert_{p,\delta-j},$$ $${W'}_\delta^{k,p}:\quad \Vert u\Vert'_{k,p,\delta}=\sum_{j=0}^k\Vert D^ju\Vert'_{p,\delta-j},$$

注意这里权重的不同使得相加项量纲基本一致. $p\in [1,\infty)$时, $C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ $C_c^\infty(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})$分别是在它们中稠密的. 权重的选取使得对于函数$u_R(x)=u(Rx),$

$$\Vert u\Vert'_{k,p,\delta}=R^{-\delta}\Vert u_R\Vert'_{k,p,\delta},$$ $$\Vert u\Vert_{k,p,\delta;A_R}\approx R^{-\delta}\Vert u_R\Vert_{k,p,\delta;A_1}, \quad R\ge 1.$$

这里$A_R:=B_{2R}\setminus B_R,$ $B_R$为原点处半径为$R$的闭球. “$\approx$”即指两者可由与$R$无关的常数倍控制, 考虑控制$\sigma$即可. 接下来我们不加证明地列举如下性质:

定理 1. 对于$1\le p\le q\le \infty,$ $\delta_2<\delta_1,$ $u\in L_{\delta_2}^q,$ 有$\Vert u\Vert_{p,\delta_1}\le c\Vert u\Vert_{q,\delta_2},$ 因此$L_{\delta_2}^q\subset L_{\delta_1}^p.$ 即$p$越高, $\delta$越小, $L_\delta^p$性质越好, 对函数要求越高.

定理 2 (Hölder不等式). $u\in L_{\delta_1}^q,$ $v\in L_{\delta_2}^r,$ $\delta=\delta_1+\delta_2,$ $1\le p,q,r\le \infty,$ $\frac{1}{p}=\frac{1}{q}+\frac{1}{r},$ 则

$$\Vert uv\Vert_{p,\delta}\le \Vert u\Vert_{q,\delta_1}\Vert v\Vert_{r,\delta_2}.$$

定理 3 (插值不等式). $\,\forall\,\varepsilon>0,$ $\,\exists\,C(\varepsilon)>0,$ $\,\forall\,u\in W_{\delta}^{2,p},$ $p\in [1,\infty],$

$$\Vert u\Vert_{1,p,\delta}\le \varepsilon\Vert u\Vert_{2,p,\delta}+C(\varepsilon)\Vert u\Vert_{0,p,\delta}.$$

定理 4 (Sobolev不等式). 若$u\in W_{\delta}^{k,p},$ 则

$$\Vert u\Vert_{q,\delta}\le C\Vert u\Vert_{k,p,\delta},\quad 0<\frac{n}{p}-k\le \frac{n}{q}\le \frac{n}{p};$$ $$\Vert u\Vert_{\infty,\delta}\le C\Vert u\Vert_{k,p,\delta},\quad \frac{n}{p}-k<0,\quad \text{且} |u(x)|=o(r^{\delta}).$$

定义带权Hölder模:

$$\Vert u\Vert_{C_\delta^{0,\alpha} }:=\sup_{x\in \mathbb{R}^n}\left(\sigma^{-\delta+\alpha}(x)\sup_{4|x-y|\le \sigma(x)}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{\alpha} }\right)+\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\sigma^{-\delta}(x)|u(x)|.$$

定理 5 (负指数Sobolev不等式). 若$u\in W_{\delta}^{k,p},$ $0<\alpha\le k-\frac{n}{p}\le 1,$ 则

$$\Vert u\Vert_{C_{\delta}^{0,\alpha} }\le C\Vert u\Vert_{k,p,\delta},\quad \Vert u\Vert_{C_{\delta}^{0,\alpha}(A_R)}=o(1).$$

定理 6 (Poincaré不等式). $\,\forall\,u\in {W’}_{\delta}^{1,p},$ $1\le p<\infty,$ $\delta\neq 0,$

$$\Vert u\Vert_{p,\delta}'\le |\delta|^{-1}\Vert u_r\Vert'_{p,\delta-1}\le |\delta|^{-1}\Vert Du\Vert'_{p,\delta-1},\quad u_r=\partial_ru=r^{-1}x\cdot Du.$$ $$\Vert u\Vert_{p,\delta}\le C\Vert u_r\Vert_{p,\delta-1},\quad \delta<0,\quad u\in W_{\delta}^{1,p}.$$

引理 7. $k>j,$ $\delta<\varepsilon,$ $1\le p<\infty,$ $W_\delta^{k,p}\Subset W_{\varepsilon}^{j,p}$为紧嵌入.

渐进椭圆算子

不等式估计

定义 8. 算子$Pu:=a^{ij}(x)\partial_{ij}^2u+b^i(x)\partial_iu+c(x)u$称为(以速率$\tau$)渐进(asymptotic)至$\Delta$的, 若$\,\exists\,n<q<\infty,$ $\tau\ge 0,$ $C_1,\lambda,$ 使得

$$\lambda |\xi|^2\le a^{ij}(x)\xi_i\xi_j\le \lambda^{-1}|\xi|^2,\quad \,\forall\,x,\xi\in \mathbb{R}^n;$$ $$\Vert a^{ij}-\delta_{ij}\Vert_{1,q,-\tau}+\Vert b^i\Vert_{0,q-1,-1-\tau}+\Vert c\Vert_{0,\frac{q}{2},-2-\tau}\le C_1.$$

由前面的定理, $a^{ij}$是Hölder连续的, 且$|a^{ij}-\delta_{ij}|=o(r^{-\tau}).$ 对于$1\le p\le q,$ $\delta\in \mathbb{R},$ $P:W_{\delta}^{2,p}\rightarrow W_{\delta-2}^{0,p}$是有界算子. 事实上有如下估计成立:

命题 9. 设$P$渐进至$\Delta,$ $1<p\le q,$ $\delta\in \mathbb{R},$ 则存在常数$C=C(n,p,q,\delta,C_1,\lambda),$ 使得若$u\in L_\delta^{0,p},$ $Pu\in L_{\delta-2}^{0,p},$ 则$u\in W_{\delta}^{2,p},$

$$\Vert u\Vert_{2,p,\delta}\le C(\Vert Pu\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert u\Vert_{0,p,\delta}).$$

欲证该命题, 做二阶椭圆型方程中通常的$L^p$估计即可. 注意该估计对${W’}_{\delta}^{k,p}$模也成立.

接下来我们来讨论算子$P$的Fredholm性, 即考虑其像是否是闭的, 以及核与余核维数的有限性. 上述命题并不足以说明它具有该性质. 我们需要加强估计, 使得右侧误差项关于$W_\delta^{2,p}$是紧的.

权重参数$\delta$称为非例外的(nonexceptional), 若$\delta\in \mathbb{R}\setminus\{k\in \mathbb{Z},k\neq -1,-2,\cdots,3-n\}.$ 例外值(exceptional value)$\{k\in \mathbb{Z}, k\neq -1,-2,\cdots,3-n\}$对应了$\mathbb{R}^n\setminus B_1$上调和函数的增长阶数. 定义

$$k^-(\delta)=\max\{k \text{ exceptional},k<\delta\}.$$

定理 10. 设$\delta$非例外, $p\in (1,\infty),$ $s$为非负整数. 那么有同构

$$\Delta:{W'}_\delta^{s+2,p}\rightarrow {W'}_{\delta-2}^{s,p},$$

且存在常数$C=C(n,p,\delta,s),$

$$\Vert u\Vert'_{s+2,p,\delta}\le C\Vert\Delta u\Vert'_{s,p,\delta-2}.$$

证: 只需对$s=0$的情况证明. 首先我们说明$\Delta$的分布逆有卷积核$K(x,y):$

$$c_nK(x,y)= \left\{\begin{aligned} &|x-y|^{2-n} &2-n<\delta<0,\\ &|x-y|^{2-n}-|y|^{2-n}\sum_{j=0}^k P_j^\lambda(\mu)\left(\frac{|x|}{|y|}\right)^j &k\ge 0,\\ &|x-y|^{2-n}-|x|^{2-n}\sum_{j=0}^k P_j^\lambda(\mu)\left(\frac{|y|}{|x|}\right)^j &k<2-n. \end{aligned}\right.$$

这里$k=k^-(\delta),$ $\mu=\frac{\left<{}x,y\right>}{|x||y|},$ $P_j^\lambda$是超球(ultraspherical)函数, 出现在泰勒展开式中:

$$|x-y|^{2-n}=|x|^{2-n}\sum_0^\infty P_j^\lambda(\mu)\left(\frac{|y|}{|x|}\right)^j,\quad |y|<|x|.$$

先来验证卷积核$K$的确定义了${W’}_{\delta-2}^{0,p}\rightarrow {W’}_{\delta}^{0,p}$的有界算子. 以$k\ge 0$的情况为例, 我们有估计

$$|K(x,y)|\le c(n,k)|x-y|^{2-n} \left\{\begin{aligned} &\left(\frac{|x|}{|y|}\right)^{k+1} &\frac{|x|}{|y|}<\frac{1}{2},\\ &\left(\frac{|x|}{|y|}\right)^{n+k-2} & \frac{|x|}{|y|}\ge \frac{1}{2}. \end{aligned}\right.$$

我们有引理如下:

引理 11. *固定$p\in (1,\infty),$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{p’}=1,$ $a,b\in \mathbb{R}$且$a+b>0.$ 设有核

$$K'(x,y)=|x|^{-a}|x-y|^{2-n}|y|^{-b},\quad x\neq y.$$

• 对$u\in L^p(\mathbb{R}^n),$ 定义$K’u(x)=\int K’(x,y)u(y)dy,$ 那么$K’:L^p\rightarrow L^p$是有界算子当且仅当$a<\frac{n}{p},$ $b<\frac{n}{p’}.$

令$K_1,K_2$是核算子$|x-y|^{2-n}\left(\frac{|x|}{|y|}\right)^\alpha,$ 分别对应$\alpha=k+1,$ $\alpha=n+k-2$. 上述引理说明当$3-n+k<\delta<k+1$时, 核

$$K_1'(x,y)=|x|^{-\delta-\frac{n}{p} }K_1(x,y)|y|^{\delta-2+\frac{n}{p} }$$

定义了$L^p\rightarrow L^p$的有界算子. 进而

$$\Vert K_1u\Vert_{p,\delta}'\le c\Vert r^{2-\delta-\frac{n}{p} }u\Vert_{L^p}\le c\Vert u\Vert'_{p,\delta-2},$$

即$K_1:{W’}_{\delta-2}^{0,p}\rightarrow {W’}_{\delta}^{0,p}$是有界算子.

类似地, 当$k<\delta<n+k-2$时, $K_2’$是$L^p\rightarrow L^p$上的有界算子, 进而$K_2$也是有界算子. 这两个估计就说明了当$k<\delta<k+1$时, $K$也是有界算子, 而$k=k^-(\delta),$ 条件自动满足. $K$定义中的另外两种情况类似处理.

我们有分布恒等式:

$$\Delta_x K(x,y)=\Delta_y K(x,y)=\delta(x-y),$$

因此$K(\Delta u)=u,$ $\,\forall\,u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n\setminus \{0\}).$ 于是由$K$的有界性及$C_c^\infty$的稠密性给出

$$\Vert u\Vert_{0,p,\delta}'=\Vert K(\Delta u)\Vert_{0,p,\delta}'\le C\Vert\Delta u\Vert'_{0,p,\delta-2},\quad \,\forall\,u\in {W'}_\delta^{k,p}.$$

结合前面的$L^p$估计, 就给出了定理所述不等式的证明($s=0$). 由于$\Delta:{W’}_{\delta}^{2,p}\rightarrow {W’}_{\delta-2}^{0,p}$是有界算子, 该不等式立刻说明其像是闭的.

由分布恒等式, 我们看到,

$$\Delta(Kf)(x)=f(x),\quad f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n\setminus \{0\}),\quad Kf\in {W'}_{\delta}^{0,p}.$$

所以$\Delta$是同构, 定理证毕.

定理给出了如下熟知的Liouville定理:

推论 12. 设$\Delta u=0,$ $u\in L_\delta^p,$ $1<p<\infty.$ 令$k=k^-(\delta).$ 若$k<0,$ 那么$u\equiv 0;$ 若$k\ge 0,$ 那么$u$是$k$阶及以下的调和多项式.

证: 由于$0\in {W’}_\delta^{s,p},$ $\,\forall\,s\ge 0,$ 推出$u\in {W’}_\delta^{s+2,p}.$ 由Sobolev不等式, $u\in C^\infty(\mathbb{R}^n).$ 令$h_k(x)$为$u(x)$的$k$次 Taylor 展开式, 即

$$u(x)=h_k(x)+O(|x|^{k+1}).$$

由于$u$是调和的, 我们知道$h_k$为调和多项式. 此时$u-h_k\in {L’}_\delta^p,$ 由前面的命题与定理, $u-h_k\in {W’}_\delta^{2,p},$ 且有估计$\Vert u-h_k\Vert’_{2,p,\delta}\le C\Vert\Delta(u-h_k)\Vert_{0,p,\delta-2}’=0,$ 从而$u=h_k.$

接下来, 我们给出与前面命题类似的估计. 乍一看不等式的量纲有些混乱, 因此称为scale-broken估计(我猜的).

定理 13. 设$P$渐进于$\Delta,$ $\delta\in \mathbb{R}$非例外, 渐进条件中的$q\ge p>1.$ 那么算子$P:W_\delta^{2,p}\rightarrow W_{\delta-2}^{0,p}$的核是有限维的, 具闭值域, 且对任意$u\in W_{\delta}^{2,p},$ 有常数$C,R$由$P,\delta,n,p,q$控制, 使得

$$\Vert u\Vert_{2,p,\delta}\le C(\Vert Pu\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert u\Vert_{L^p(B_R)}).$$

证: 取算子模

$$\Vert P-\Delta\Vert_{op}:=\sup\{\Vert(P-\Delta)u\Vert_{0,p,\delta-2}:u\in W_{\delta}^{2,p},\Vert u\Vert_{2,p,\delta}=1\}.$$

类似地定义$\Vert\cdot\Vert_{op,R},$ 要求选取的函数$u$支集落在$E_R=\mathbb{R}^n\setminus B_R$中, 即在$B_R$内取零. 那么若$\operatorname{supp}(u)\subset E_R,$ 由$q>n,$

$$\begin{aligned} \Vert(P-\Delta)u\Vert_{0,p,\delta-2}\le& \sup_{|x|>R}\{|a^{ij}(x)-\delta_{ij}|\}\Vert D^2u\Vert_{0,p,\delta-2}\\ &+C\Vert b\Vert_{0,q,-1;E_R}\Vert Du\Vert_{1,p,\delta-1}+C\Vert c\Vert_{0,\frac{q}{2},-2;E_R}\Vert u\Vert_{2,p,\delta} \end{aligned}$$

由于$P$渐进于$\Delta,$

$$\Vert P-\Delta\Vert_{op,R}=o(1),\quad R\rightarrow \infty.$$

取$\chi\in C_c^\infty(B_2),$ $\chi\in [0,1],$ $\chi|_{B_1}=1.$ 取待定常数$R,$ 令$\chi_R(x)=\chi(\frac{x}{R}),$ $u_0=\chi_Ru,$ $u_\infty=(1-\chi_R)u,$ $u=u_0+u_\infty.$ 由前面的定理, 我们有:

$$\begin{aligned} \Vert u_\infty\Vert_{2,p,\delta}&\le C\Vert\Delta u_{\infty}\Vert_{0,p,\delta-2}=C\Vert(\Delta-P+P) u_{\infty}\Vert_{0,p,\delta-2}\\ &\le C(\Vert Pu_{\infty}\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert P-\Delta\Vert_{op,R}\Vert u_{\infty}\Vert_{2,p,\delta}) \end{aligned}$$

由于$\Vert P-\Delta\Vert_{op,R}=o(1),$ 对充分大的$R,$ 有

$$\Vert u_{\infty}\Vert_{2,p,\delta}\le C\Vert Pu_\infty\Vert_{0,p,\delta-2}.$$

进一步估计, 有

$$\begin{aligned} \Vert Pu_\infty\Vert_{0,p,\delta-2}&\le \Vert Pu\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert 2a^{ij}u_i\partial_j\chi_R+(a^{ij}\partial^2_{ij}\chi_R+b^i\partial_i \chi_R)u\Vert_{0,p,\delta-2;A_R}\\ &\le \Vert Pu\Vert_{0,p,\delta-2}+C\Vert u\Vert_{1,p,\delta;A_R} \end{aligned}$$

再对$\Vert\cdot\Vert_{1,p,\delta}$项利用插值不等式进一步改造, 以及$L^p$估计, 即有

$$\Vert u_\infty\Vert_{2,p,\delta}\le C(\Vert Pu\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert u\Vert_{0,p,\delta;A_R}).$$

同时由$L^p$估计, 对$u_0$有

$$\Vert u_0\Vert_{2,p,\delta}\le C(\Vert Pu_0\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert u_0\Vert_{0,p,\delta})\le C(\Vert Pu\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert Pu_{\infty}\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert u\Vert_{0,p,\delta;{B_{2R} } }).$$

再利用一遍前面关于$Pu_\infty$已有的估计, 就得到了定理所需的不等式:

$$\Vert u\Vert_{2,p,\delta}\le \Vert u_0\Vert_{2,p,\delta}+\Vert u_\infty\Vert_{2,p,\delta}\le C(\Vert Pu\Vert_{0,p,\delta-2}+\Vert u\Vert_{L^p(B_R)}).$$

接下来讨论核维数的有限性. 设$\{u_k\}$为$\ker P$中的函数列, 满足$\Vert u_k\Vert_{2,p,\delta}=1.$ 由紧嵌入定理, 不妨设$\{u_k\}$本身在$L^p(B_R)$中强收敛. 此时由于$Pu_k\equiv 0,$ 刚刚证得的不等式就说明了$\{u_k\}$是$W_\delta^{2,p}$中的Cauchy列. 因此$\ker P$中单位球面是紧的, 从而其维数有限.

由于$\ker P$维数有限, 有分解$W_\delta^{2,p}=\ker P\oplus Z,$ $Z$为闭集. 断言存在常数$C$使得

$$\Vert u\Vert_{2,p,\delta}\le C\Vert Pu\Vert_{0,p,\delta-2},\quad \,\forall\,u\in Z.$$

不然, 存在$\{u_k\},$ $\Vert u_k\Vert_{2,p,\delta}\equiv 1,$ 而$\Vert Pu_k\Vert_{0,p,\delta-2}\rightarrow 0.$ 此时由紧嵌入定理, 利用定理中的不等式再一次得到$\{u_k\}$是$W_{\delta}^{2,p}$中的Cauchy列. 由$Z$的闭性, 它收敛到$u_0\in Z.$ 然而又由$P$的连续性, $Pu_0=0,$ $u_0\in \ker P.$ 从而$u_0=0,$ 但这又与$\Vert u_k\Vert_{2,p,\delta}\equiv 1$矛盾, 因为$u_k\rightarrow u_0.$ 于是断言成立, 立即说明$P$具闭值域.

半Fredholm性质

接下来我们进一步考虑$P$的核的维数. 记

$$N(P,\delta)=\dim\ker (P:W_\delta^{2,p}\rightarrow W_{\delta-2}^{0,p}), \quad 1<p\le q.$$

由$L^p$估计与Sobolev不等式, 可以说明$N(P,\delta)$与$p$选取无关. 下面为了简化记号, 我们记$X=W_\delta^{2,p},$ $Y=W_{\delta-2}^{0,p},$ $\delta$非例外, $1<p\le q.$ 那么由刚刚的定理, 我们知道$P:X\rightarrow Y$是半Fredholm的, 即核是有限维的, 且具闭值域.

命题 14. 设$P:X\rightarrow Y$是Banach空间间的半Fredholm算子, 那么存在常数$C>0,$ 有估计

$$\Vert u-\ker P\Vert_{X}=\Vert u\Vert_{X/\ker P}\le C\Vert Pu\Vert_Y.$$

同时, 有$\varepsilon>0,$ 使得对于任意满足$\Vert P-P’\Vert_{op}<\varepsilon$的另一个半Fredholm算子$P’,$

$$\dim \ker P'\le \dim \ker P.$$

证: 已知$\operatorname{Im}P$是闭的, 那么它是Banach空间, 因此第一个估计由逆算子定理立即得到. 现令$\varepsilon=\frac{1}{2C},$ 设核维数不等式不成立, 那么存在$u\in \ker P’,$ $\Vert u\Vert_X=1,$ $\Vert u-\ker P\Vert_X>\frac{1}{2}.$ 此时

$$\frac{1}{2}<\Vert u-\ker P\Vert_{X}\le C\Vert Pu\Vert_{Y}\le C\Vert P-P'\Vert_{op}\Vert u\Vert_X<C\varepsilon,$$

产生矛盾.

可见$\frac{1}{C}$衡量着$P$与其它核更大的半Fredholm算子的距离. 下面反方向的命题使这一观点更为深刻:

命题 15. $X,Y$同上, 记$\mathcal{F}$为$X$到$Y$上渐进于$\Delta$的算子全体. 设$\mathcal{U}\subset \mathcal{F}$为其中满足$\dim\ker P\equiv N$的算子全体, 那么给定$P\in \mathcal{U},$ $\,\exists\,\varepsilon,C>0,$ 使得

$$\Vert u-\ker P'\Vert_{X}\le C\Vert P'u\Vert_Y,\quad \,\forall\,u\in X,P'\in \mathcal{U}, \Vert P-P'\Vert_{op}\le \varepsilon.$$

证: 不然, 存在序列$P_k\rightarrow P\in \mathcal{U},$ $\{u_k\}\subset X,$ 满足$\Vert u_k\Vert_X=1,$ $\Vert u_k-\ker P_k\Vert_{X}>\frac{1}{2},$ 且

$$\Vert u_k-\ker P_k\Vert_{X}\ge k\Vert P_ku_k\Vert_Y.$$

这说明$P_ku_k\rightarrow 0.$ 此时继续通过前面定理中的紧嵌入方法即可取子列$u_k\rightarrow u,$ 满足$Pu=0,$ $\Vert u\Vert_X=1,$ 且对充分大的$k$有$\Vert u-\ker P_k\Vert\ge \frac{1}{4}.$

类似地, 任取$v_k\in \ker P_k,$ $\Vert v_k\Vert_X=1,$ 同理它也有子列收敛到$v\in \ker P.$ 这就说明$N$维的$\ker P_k$收敛到$\ker P$中的$N$维子空间. 然而由上段的估计, $u$不在这样的子空间中, 但$u\in \ker P.$ 这就说明$\dim \ker P\ge N+1,$ 矛盾.

最后我们给出如下的定理, 说明核更大的半Fredholm算子集更小.

定理 16. 设$P:X\rightarrow Y$是半Fredholm的, $A:X\rightarrow Y$是$P$-有界的, 即$\Vert Au\Vert_Y\le C(\Vert Pu\Vert_Y+\Vert u\Vert_X),$ $\,\forall\,u\in X.$ 那么存在$\lambda_0>0,$ 使得对于$|\lambda|<\lambda_0,$ $P+\lambda A$总是半Fredholm的, 且$\dim \ker (P+\lambda A)$在$0<\lambda<\lambda_0$时为常数(注意$\lambda=0$不在其中).

Fredholm指标

我们有伴随算子$P^\ast :W^{0,p’}_{2-n-\delta}\rightarrow W^{-2,p’}_{-n-\delta},$ $\frac{1}{p’}+\frac{1}{p}=1.$ 若其也是渐进的, 那么我们可以通过Fredholm指标得到更多信息. 由前面的命题, 当$1<p’\le \widetilde{q}$时, $\ker P^\ast \subset W^{2,p’}_{2-n-\delta}.$ 当$\delta$非例外时, 伴随也是半Fredholm算子, 从而:

$$\dim \operatorname{coker}P=\dim \ker P^\ast =N(P^\ast ,2-n-\delta).$$

因此$P$成为Fredholm算子, 具Fredholm指标:

$$\iota(P,\delta)=N(P,\delta)-N(P^\ast ,2-n-\delta).$$

由于指标在Fredholm算子空间上是局部常数的, 我们有

$$\iota(P,\delta)=\iota(\Delta,\delta)=:\iota_0(\delta).$$

而$\iota_0(\delta)$是可以计算的. 记$H_k$为$\mathbb{R}^n$中$k$次齐次调和多项式全体, 我们有$n_k=\dim H_k=\frac{(n-2+2k)(n-3+k)!}{k!(n-2)!}.$ 接下来定义$N_0(\delta):=N(\Delta,\delta),$ 我们有:

$$N_0(\delta)=n_0+\cdots+n_k=\frac{(n-1+2k)(n-2+k)!}{k!(n-1)!},\quad k=k^-(\delta)>0.$$

因此, $\iota_0(\delta)=\begin{cases} N_0(\delta),&\delta>0;\\ -N_0(2-n-\delta),&\delta<0. \end{cases}$ 上述推导给出了如下命题:

命题 17. 设$P,P^\ast $都是渐进于$\Delta$的, $\delta$非例外, $1<p\le q$时, $P:W^{2,p}_\delta\rightarrow W^{0,p}_{\delta-2}$是Fredholm算子, $N(P,\delta)=\dim\ker P$与$p$选取无关. 若$k^-(\delta)<\delta’\le \delta,$ 那么$N(P,\delta)=N(P,\delta’),$ 且若$u\in W_\delta^{2,p},$ $Pu\in W_{\delta’}^{0,p},$ 则$u\in W_{\delta’}^{2,p}.$

证: 由于$k^-(\delta)=k^-(\delta’),$ $\iota(P,\delta)-\iota(P,\delta’)=\iota_0(\delta)-\iota_0(\delta’)=0.$ 展开即有

$$N(P,\delta)-N(P,\delta')=N(P^\ast ,2-n-\delta)-N(P^\ast ,2-n-\delta').$$

由于$L^p_{\delta’}\subset L^p_{\delta},$ 左侧非负右侧非正, 因此两侧皆为零, $N(P,\delta)=N(P,\delta’).$ 这说明$\ker(P,\delta)=\ker(P,\delta’).$ 现若$Pu\in W_{\delta’}^{0,p},$ 则$\left<{}Pu,v\right>=\left<{}u,P^\ast v\right>=0,$ $\,\forall\,v\in \ker(P^\ast ,2-n-\delta’).$ 由$P$具闭值域, $Pu\in \operatorname{Im}(P,\delta’).$ 因此$\,\exists\,w\in W_{\delta’}^{2,p}\subset W_\delta^{2,p},$ 使得$Pu=Pw.$ 即$w-u\in\ker(P,\delta)=\ker (P,\delta’)\subset W_{\delta’}^{2,p}.$ 进而$u\in W_{\delta’}^{2,p}.$

当$P=\Delta_g$时, $P^\ast =P.$ 注意伴随由配对$(u,v)=\int uvd\mathcal{H}^n=\int uv\sqrt{g}dx$确定.

命题 18. 设$g_{ij}(x)$是$\mathbb{R}^n$上一致椭圆的, $(g_{ij}-\delta_{ij})\in W_0^{1,q},$ $n<q<\infty.$ 若$\delta$非例外, $1<p\le q,$ 则$\Delta_g:W_{\delta}^{2,p}\rightarrow W_{\delta-2}^{0,p}$是Fredholm的, $N(\Delta_g,\delta)=N_0(\delta).$

证: 由正则性条件, $\Delta_g$渐进于标准Laplace算子,

$$\Delta_g=g^{ij}\partial^2_{ij}+\frac{\partial {}g^{ij} }{\partial {}x^j}\partial_i+\frac{g^{ik}g^{lj} }{2}\frac{\partial {}g_{jl} }{\partial {}x^l}\partial_i.$$

又由$\Delta_g$的自伴随性, 可知$\Delta_g$可继承前述讨论, 是Fredholm算子. 由指标不变性, 只需证明当$\delta<0$时, $N(\Delta_g,\delta)=0.$ 而$\Delta_gu=0,$ $\delta<0$时, 由$u\in W_{\delta}^{2,p}$出发, 反复利用前面的命题, 结合Sobolev不等式, 得到$u$在无穷远处趋于零. 这样利用极值原理即可得出结论.

由先前的命题, 自动有:

推论 19. 令$\delta$非例外, $n<q<\infty,$ $1<p\le q.$ 那么存在正常数$C,\varepsilon,$ 使得对任意度量$g_{ij},$ 满足$\Vert g_{ij}-\delta_{ij}\Vert_{1,q,0}\le \varepsilon,$ 有

$$\Vert u-\ker \Delta_g\Vert_{2,p,\delta}\le C\Vert\Delta_g u\Vert_{0,p,\delta-2},\quad \,\forall\,u\in W_{\delta}^{2,p}.$$

最后我们来看本节得到的最重要的一个结论:

定理 20. 设$P$渐进于$\Delta,$ 速率为$\tau>0,$ $u\in W_{\delta}^{2,q},$ $\delta$非例外, 在$E_R$上$Pu=0.$ 那么存在例外值$k\le k^-(\delta),$ $k$次齐次调和函数$h_k\in C^\infty(\mathbb{R}^n),$ 使得

$$u-h_k=o(r^{k-\tau}),\quad r\rightarrow \infty.$$

证: 记在$\mathbb{R}^n$中$Pu=f,$ 那么$\Delta u=F\in W^{0,q}_{\delta-2-\tau}.$ 在$E_R$上,

$$F=(\delta_{ij}-a^{ij})\partial^2_{ij}u-b^i\partial_iu-cu.$$

由于$\Delta:{W’}_{\delta-\tau}^{2,q}\rightarrow {W’}_{\delta-\tau-2}^{0,q}$是同构, $\,\exists\,v\in W_{\delta-\tau}^{2,q},$ 使得

$$\Delta(u-v)=0,\quad |x|>R.$$

由经典的调和函数展开式, 我们有:

$$u-v=h_k+O(r^{k-1}),$$

$k\le k^-(\delta),$ $h_k$如上所述. 现$u-h_k=v+O(r^{k-1})\in W_{\delta-\tau}^{2,q},$ 对应着$F\in W_{\delta-2-2\tau}^{0,q},$ 继续说明$v\in W_{\delta-2\tau}^{2,q}.$ 重复直到我们得到$u-h_k\in W_{k-\tau}^{2,q}$即可.

文章最后更新于 2022-04-14 16:45:33