《黎曼几何初步》笔记(5)-Jacobi场和Cartan-Hadamard定理

Jacobi场

回忆若$\{\gamma_s\}$为单参数测地线族, 以$U$为横截向量场. 那么$U$限制在基线$\gamma=\gamma_0$上是一个Jacobi场, 满足Jacobi方程:

$$\ddot{U}+R_{\dot{\gamma}U}\dot{\gamma}=0.$$

它是一个二阶常微分方程组, 因此有如下引理:

引理 1. 对测地线$\gamma,$ 任意给定$v,w\in M_{\gamma_0},$ 存在唯一沿$\gamma$的Jacobi场, 使得$U(0)=v,$ $\dot U(0)=w,$ 且沿测地线的Jacobi场零点离散.

对上节的(单方向的)引理, 我们有更完整的命题成立:

引理 2. 给定测地线$\gamma$与沿它的向量场$U,$ 它是Jacobi场当且仅当$U$是某个单参数测地线族$\{\gamma_s\}$的横截向量场在$\gamma$上的限制, $\gamma_0\equiv \gamma.$

证: 只需证明$U$是Jacobi场的情形. 取以$U(0)$为初始切向量的测地线(或任一曲线)$\zeta,$ 在其上取平行向量场$T,W,$ 满足$T(0)=\dot\gamma(0),$ $W(0)=\dot U(0),$ 我们准备编织出单参数测地线族.

取$\gamma_u(t)=\exp_{\zeta(u)}t(T(u)+uW(u)),$ 那么$\{\gamma_u\}$构成单参数测地线族, 且$\gamma_0\equiv \gamma.$ 记其横截向量场限制在$\gamma$上为$U_1,$ 只需验证$U_1(0)=U(0),$ $\dot U_1(0)=\dot U(0).$ 一式由下式即得,

$$U_1(0)=\left.\frac{\partial {} }{\partial {}u}\gamma_u(0)\right|_{u=0}=\dot\zeta(0)=U(0).$$

对于二式, 记$\Gamma(t,u):=\gamma_u(t),$ $T_1:=d\Gamma\left(\frac{\partial {} }{\partial {}t}\right).$ 回忆上节中的$[T,U]\equiv0,$ 类似地我们有:

$$\dot U_1(0)=D_{\dot\gamma(0)}U_1=D_{U_1(0)}\dot\gamma=D_{\dot\zeta(0)}T_1.$$

而我们知道, 由于$d\exp_O=\mathrm{id},$

$$T_1(\zeta(u))=\left.\frac{\partial {} }{\partial {}t}\exp_{\zeta(u)}t(T(u)+uW(u))\right|_{t=0}=T(u)+uW(u).$$

最后由于我们选取的是平行向量场, 就得到了

$$\dot U_1(0)=D_{\dot\zeta(0)}(T(u)+uW(u))=W(0)=\dot U(0).$$

引理 3. 设$U$是沿测地线$\gamma$的Jacobi场, 那么存在Jacobi场$U^\perp$满足$\left<{}U^\perp,\dot\gamma\right>,$ $a,b\in \mathbb{R},$ 使得

$$U=U^\perp +(at+b)\dot\gamma.$$

证: 首先我们可以看到,

$$D_TD_T\left<{}U,\dot\gamma\right>=D_T\left<{}\dot U,\dot\gamma\right>=\left<{}\ddot U,\dot\gamma\right>=\left<{}-R_{\dot\gamma U}\dot\gamma,\dot\gamma\right>=-R(\dot\gamma,U,\dot\gamma,\dot\gamma)=0.$$

因此$\left<{}U,\dot\gamma\right>(t)=a’t+b’.$ 做正交化, 令

$$a=\frac{a'}{|\dot\gamma|^2},\quad b=\frac{b'}{|\dot\gamma|^2},\quad U^\perp=U-(at+b)\dot\gamma,$$

则$\left<{}U^\perp,\dot\gamma\right>=0,$ 且$U^\perp$的确是Jacobi场:

$$\ddot{U}^\perp=\ddot U=-R_{\dot\gamma U}\dot\gamma=-R_{\dot\gamma U^\perp}\dot\gamma-(at+b)R_{\dot\gamma\dot\gamma}\dot\gamma=-R_{\dot\gamma U^\perp}\dot\gamma.$$

因此垂直于$\dot\gamma$的Jacobi场是有意思的, 称其为正常Jacobi场. 由于$\left<{}U,\dot\gamma\right>=at+b,$ 只要初值条件有$\left<{}U(0),\dot\gamma\right>=\left<{}\dot U(0),\dot\gamma\right>=0,$ 那么$U(t)$就是正常Jacobi场. 类似地, 我们还有推论:

推论 4. 若$U$是沿测地线$\gamma$的Jacobi场, 存在$t_1\neq t_2,$ $\left<{}U,\dot\gamma\right>(t_1)=\left<{}U,\dot\gamma\right>(t_2)=0,$ 则$U$是正常Jacobi场.

现在我们用Jacobi场来了解$d\exp_x.$ 回忆第三章中, 我们得到了$d\exp_x$在半径方向总是不退化的. 现考虑$p\in M$处的奇异性, 取$X$为$p$点处切向量, 垂直于径向直线$t\mapsto tp.$ 取单参数测地线族:

$$\gamma_u(t)=\exp_xt(T+uX),\quad T=p.$$

由于$U(t)=d\exp_x tX,$ $U(0)=0,$ $\dot U(0)=X,$ $\left<{}X,T\right>=0,$ 横截向量场$U$在基曲线$\gamma=\gamma_0$上的限制是正常Jacobi场. 由于$U(1)=d\exp_x X,$ 我们可以得到Gauss引理, 同时还有如下引理:

引理 5. $d\exp_x$在$p\in M_x$处退化的充要条件是$\gamma(t)=\exp_x tp$上存在不恒为零的正常Jacobi场, 在$x$与$\exp_xp$处取零.

若$d\exp_x$在$p\in M_x$处退化, 则称$p$是映射$\exp_x$的共轭点, 称$\exp_x p$为$x$沿测地线$\gamma(t)=\exp_x tp$的共轭点. 由刚刚的引理, 可以看出称之为”共轭”是有道理的: 这一关系具有对称性.

应用

接下来我们介绍第一个“整体性”定理, 即只需对流形全貌做一些拓扑, 几何假定后即可成立的性质.

定理 6 (Cartan-Hadamard定理). 设$M$是完备黎曼流形, 具非正截面曲率, 则$\,\forall\,x\in M,$ $\exp_x:M_x\rightarrow M$无共轭点; 当$M$是单连通完备黎曼流形时, 若$\exp_x:M_x\rightarrow M$无共轭点, 则$\exp_x$为微分同胚.

证: 只需证明对于任意测地线$\gamma,$ 其上非平凡正常Jacobi场$U,$ 只要$U(0)=0,$ 则$\,\forall\,t>0,$ $U(t)\neq 0.$ 定义$f(t)=\left<{}U,U\right>(t),$ 那么

$$\ddot f=2\left(\left<{}\dot U,\dot U\right>+\left<{}\ddot U,U\right>\right)=2\left(\left<{}\dot U,\dot U\right>-\left<{}R_{\dot \gamma U}\dot\gamma,U\right>\right)\ge 0.$$

最后一个不等号是因为$R(\dot\gamma,U,\dot\gamma,U)=K(\Pi)|\dot\gamma\wedge U|^2\le 0,$ $\Pi$为由$\left<{}\dot\gamma,U\right>$张成的子空间. 因此$f\ge 0$是凸函数, 结合Jacobi场的零点离散性就证明了结论.

事实上, 可以证明更精密的估计:

$$\frac{d {}^2}{d {}t^2}|U(t)|\ge -|U(t)|\cdot |\dot\gamma(t)|\cdot|K(\Pi(t))|\ge 0.$$

由该式可导出Rauch比较定理.

第二部分的证明只需说明$\exp_x$是覆盖映射. 由于底空间$M$是单连通的, 得到$\exp_x$是单射, 从而是微分同胚. 我们通过后面两个引理来说明这一点.

引理 7. 设$\varphi:M\rightarrow M’$是局部等距映射, $M$是完备的, 那么$\varphi$是覆盖映射, 且$M’$也是完备的.

证: 证明除了用到完备性与测地线性质外, 更多是拓扑上的技巧, 在此略过. 核心是利用等距变换保测地性, 说明局部上$\varphi=\exp_{\varphi(x)}\circ d\varphi \circ \exp_{x}^{-1}.$

引理 8. 设$M$是完备的黎曼流形, $x\in M,$ $\exp_x:M_x\rightarrow M$无共轭点, 则$\exp_x$是覆盖映射.

证: 取$g’=\exp_x^\ast g,$ 将$M$上的度量拉回到$M_x$上. 易见从原点出发的射线在$g’$意义下是$M_x$中的测地线, 那么由$M$的完备性, 这些射线均可无限延伸, 从而由Hopf-Rinow定理, $(M_x,g’)$是完备的. 由$g’$定义, $\exp_x:(M_x,g’)\rightarrow (M,g)$自然是局部等距映射, 那么由上述引理立即得到结论.

现在我们用Jacobi定理说明单连通空间形式的唯一性.

定理 9. 设$M,M’$是两个$n$维单连通的空间形式, 截面曲率为$c.$ 设$x\in M,$ $x’\in M’,$ $\{e_i\},\{e’_i\}$分别是$M_x,M’_x$中的标准正交基. 那么存在唯一的等距映射$\varphi:M\rightarrow M’,$ 使得$\varphi(x)=x’,$ $d\varphi(e_i)=e’_i.$

证: 定理的证明较为繁琐, 在此省略. 证明不妨取$c=0,\pm 1,$ $M=S^n,\mathbb{R}^n,H^n$即可. 主要步骤是说明$\varphi=\exp_{x’}\circ\Phi\circ \exp_{x}^{-1}$即为所求. 其中$\Phi$是使得$\Phi(e_i)=e’_i$的唯一线性映照. 另外, $c\le 0$时由Cartan-Hadamard定理可以直接取出这样的$\varphi,$ $c>0$时需要局部上取这样的$\varphi$再做合适的延拓. 证明中用到如下三个引理, 前两个引理用于展开Jacobi方程, 最后一个引理说明了等距变换的唯一性.

引理 10. 设$M$为$n$维空间形式, 截面曲率为$c.$ 设$x\in M,$ $\{e_i\}$为$M_x$标准正交基. 那么$M$的曲率张量满足:

$$R_{e_ie_j}e_k=c(\delta_{ik}e_j-\delta_{jk}e_i),\quad 1\le i,j,k\le n.$$

证: 只需证明依该式的确定义了一个曲率张量即可, 且该曲率张量的截面曲率也是$c.$ 那么由于截面曲率决定了曲率张量, 我们就建立了两个曲率张量的恒等关系.

推论 11. 记号同上一引理, 设$v$是$M_x$中单位向量, $v^\perp$是$v$的正交补, 那么

$$R_{vw}v= \left\{\begin{aligned} &cw, &&w\in v^\perp,\\ &0, &&w=\alpha v. \end{aligned}\right.$$

引理 12. 设$\varphi_1,\varphi_2:M\rightarrow N$为两个局部等距, 满足$\,\exists\,x\in M,$ $\varphi_1(x)=\varphi_2(x)=y\in N,$ 且$d\varphi_1(x)=d\varphi_2(x):M_x\rightarrow M_y.$ 那么我们有$\varphi_1=\varphi_2.$

证: 取$M$中子集

$$\mathscr{S}:=\{y\in M: \varphi_1(y)=\varphi_2(y),d\varphi_1(y)=d\varphi_2(y)\},$$

说明其既开又闭即可(连通性假设总是默认的). 开集利用$\exp_y$说明, 闭集由连续性说明.

注意我们的主定理有值得注意的推论. 当$M=M’$时, 我们得到:

推论 13. 设$M$为$n$维完备单连通黎曼流形, 则$M$是空间形式当且仅当对于任意$x,x’\in M,$ $M_x,M_x’$中任意标准正交基$\{e_i\},\{e_i’\},$ 存在等距自变换$\varphi,$ 使得

$$\varphi(x)=x', \quad d\varphi(e_i)=e_i'.$$

这表明任一单连通空间形式必是齐性黎曼流形, 特别地$H^n$是齐性的, 而这并不能平凡地看出. 进一步可说明这些空间形式都是两点齐性的, 即对于任意$p_1,p_2,q_1,q_2\in M,$ $d(p_1,p_2)=d(q_1,q_2),$ 存在等距映射$\varphi:M\rightarrow M,$ 使得$\varphi(p_i)=q_i,$ $i=1,2.$

推论 14. 所有单连通空间形式都是两点齐性的.

证: 由于流形是完备的, 存在测地线$\zeta,\xi$分别连接$p_1,p_2;q_1,q_2.$ 取等距变换$\varphi,$ 使得$\varphi(\zeta(0))=\xi(0),$ $d\varphi(\dot\zeta(0))=\dot\xi(0).$ 由等距变换保持测地线的性质即可知$\varphi(\zeta)=\xi,$ 命题得证.

文章最后更新于 2022-04-21 19:11:30