《黎曼几何初步》笔记(6)-弧长第一与第二变分公式

第一变分公式

我们来研究$\gamma$曲线的长度极短性. 取单参数曲线族$\{\gamma_u\}_{-\varepsilon\le u\le \varepsilon},$ 满足$\gamma_0=\gamma,$ $\gamma_u(a)=\gamma(a),$ $\gamma_u(b)=\gamma(b).$ 记$L(u):[-\varepsilon,\varepsilon]\rightarrow \mathbb{R}$为曲线$\gamma_u$的长度. 那么当$L’(0)=0,$ $L’’(0)>0$时, $L(0)$处有极小值; 若这对所有满足条件的单参数曲线族$\{\gamma_u\}$都成立, 则局部上$\gamma$取得极短长度.

我们先取消$\gamma_u(a)=\gamma(a),$ $\gamma_u(b)=\gamma(b)$的假设, 令$U$为$\{\gamma_u\}$的横截向量场, $T$切于所有曲线$\gamma_u(t).$ 不妨设$t$是基曲线$\gamma$的弧长参数, $|\dot\gamma|=1.$ 那么,

$$L(u)=\int_a^b |\dot\gamma_u(t)|dt,\quad L'(u)=\int_a^b\frac{d {} }{d {}u}\sqrt{\left<{}\dot\gamma_u(t),\dot\gamma_u(t)\right>}dt,$$

其中积分项可以写为:

$$U\sqrt{\left<{}T,T\right>}=\frac{1}{|T|}\left<{}T,D_UT\right>=\frac{1}{|T|}\left<{}T,D_TU\right>=\frac{1}{|T|}\left(T\left<{}T,U\right>-\left<{}D_TT,U\right>\right),$$

这样我们就得到了弧长第一变分公式:

$$L'(0)=\int_a^b\frac{d {} }{d {}t}\left<{}\dot\gamma,U\right>-\left<{}D_{\dot\gamma}\dot\gamma,U\right>dt=\left<{}\dot\gamma(t),U(t)\right>|_a^b-\int_a^b\left<{}\ddot\gamma(t),U(t)\right>.$$

称$\{\gamma_u\}$为$\gamma$的正常变分, 若$\gamma_u(a)=\gamma(a),$ $\gamma_u(b)=\gamma(b),$ $\gamma_0=\gamma.$ 对于正常变分, $U(a)=U(b)=0,$ 因此第一变分公式中第一项消失. 现在我们可以看到测地线的另一等价描述:

引理 1. 曲线$\gamma:[a,b]\rightarrow M$是测地线的充要条件是, 它是长度函数关于所有正常变分的临界点.

设$N$为$M$中闭子流形, $x\notin N,$ 那么$\,\exists\,y\in N$使得$d(x,y)=d(x,N).$ 取最短的正规测地线$\gamma:[a,b]\rightarrow M$连接$x,y.$

引理 2. $\gamma\perp N,$ 即$\dot\gamma(b)\perp N_y.$

证: 设$Y\in N_y,$ 取$\xi:[-\varepsilon,\varepsilon]\rightarrow N,$ $\xi(0)=y,$ $\dot\xi(0)=Y.$ 那么可以取到单参数曲线族$\{\gamma_u\},$ $\gamma_0=\gamma,$ $\gamma_u(a)=\gamma(a)=x,$ $\gamma_u(b)=\xi(u).$ 这样横截向量场$U$满足$U(x)=0,$ $U(y)=Y,$ 从而:

$$L'(0)=\left<{}\dot\gamma(b),U(b)\right>=\left<{}\dot\gamma(b),Y\right>=0 \quad \Rightarrow \quad \gamma\perp N.$$

第二变分公式

一般当$L’(0)=0$时, 计算$L’’(0)$才有意义. 故现设$\gamma$为正规测地线, 则:

$$L''(u)=\int_a^b\frac{d {} }{d {}u}\left(\frac{1}{|T|}\left<{}T,D_TU\right>\right)dt,$$

其中积分项可写为:

$$\begin{aligned} U\left(\frac{1}{|T|}\left<{}T,D_TU\right>\right)&=-\frac{1}{|T|^3}\left<{}T,D_TU\right>^2+\frac{1}{|T|}\left<{}D_TU,D_TU\right>+\frac{1}{|T|}\left<{}T,D_UD_TU\right>\\ &=-\frac{1}{|T|^3}\left(T\left<{}T,U\right>-\left<{}D_TT,U\right>\right)^2+\frac{1}{|T|}|D_TU|^2+\frac{1}{|T|}\left(-\left<{}T,R_{UT}U\right>+\left<{}D_TD_UU,T\right>\right). \end{aligned}$$

带入到$u=0$时, 注意此时$\gamma$为正规测地线, 因此:

$$\begin{aligned} L''(0)&=\int_a^b -\left(\frac{d {} }{d {}t}\left<{}\dot\gamma,U\right>\right)^2+|\dot U(t)|^2-\left<{}\dot \gamma,R_{U\dot\gamma}U\right>+\frac{d {} }{d {}t}\left<{}D_UU,\dot\gamma\right>dt\\ &=\left<{}D_UU,\dot\gamma\right>|^b_a+\int_a^b\left(|\dot U(t)|^2-\left<{}R_{\dot\gamma U}\dot\gamma,U\right>-\left(\left<{}\dot\gamma,U\right>'\right)^2\right)dt. \end{aligned}$$

这就是弧长第二变分公式, 决定项为曲率项, 称$\left<{}D_UU,\dot\gamma\right>|^b_a$为边界项, 当$\{\gamma_u\}$为正常变分时边界项消失.

由于$U(t)$沿$\dot\gamma$的切向分量并不改变$\gamma$的长度, 我们只需考虑正交分量$U^\perp(t),$ 即设$\left<{}U^\perp,\dot\gamma\right>=0,$ $U=U^\perp+f\dot\gamma.$ 那么

$$|\dot U(t)|^2-\left(\left<{}\dot\gamma(t),U(t)\right>'\right)^2=|\dot U^\perp (t)|^2+f'(t)^2-f'(t)^2=|\dot U^\perp(t)|^2,$$ $$\left<{}R_{\dot\gamma U}\dot\gamma,U\right>=\left<{}R_{\dot\gamma U^\perp}\dot\gamma, U^\perp\right>.$$

因此弧长第二变分公式也可写为:

$$L''(0)=\left<{}D_UU,\dot\gamma\right>|^b_a+\int_a^b \left(|\dot U^\perp(t)|^2-\left<{}R_{\dot\gamma U^\perp}\dot\gamma,U^\perp\right>\right)dt.$$

后面的应用日后补充.

文章最后更新于 2022-04-22 21:06:49