《代数拓扑2》笔记(3)-谱序列的应用

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对于Serre纤维化,

$$E\xrightarrow{\pi} B,$$

满足同伦提升性质(对CW复形). 若$B$是道路连通的, 纤维彼此都是同伦等价的, 记为

$$F\rightarrow E\xrightarrow{\pi}B.$$

定理 1. 令$F\rightarrow E\rightarrow B$为Serre纤维化, $B$单连通. 那么存在谱序列$E^r,$ $E^2_{p,q}=H_p(B;H_q(F)),$ 收敛到$E^\infty_{p,q}=G_pH_{p+q}(E).$

注 2. 若$\pi_1(B)\neq 0,$ 定理也成立, $H_\ast (B;H_\ast (F))$为具”局部系数”的同调, 由$\pi_1(B)$在$H_\ast (F)$上的作用表示. 若系数在域上选取, 则由万有系数定理与Kunneth公式, $E^2_{\ast ,\ast }=H_\ast (B;H_\ast (F))=H_\ast (B)\otimes H_\ast (F)=H_\ast (B\times F).$ $E^\infty=H_\ast (E).$ 同时$\dim H_n(B\times F)=\sum_{p+q=n} \dim E^2_{p,q}\ge \sum_{p+q=n} \dim E_{p,q}^\infty=\dim H_n(E).$ 这给出了对纤维丛同调维数的限制.

考虑$B$的CW逼近, 它与原纤维化弱同伦等价. 由于结论关于弱同伦等价不变, 不妨设$B$为CW复形. 取$B$的骨架滤列, 诱导了$E$上的滤列

$$\cdots\subset \pi^{-1}(B^p)\subset \pi^{-1}(B^{p+1})\subset \cdots.$$

进而我们有$C_\ast (E)$上的滤列, 取它的谱序列.

$$E^0=G_pC_\ast (E)=C_\ast (\pi^{-1}(B^p),\pi^{-1}(B^{p-1})).$$ $$E^1_{p,q}=H_{p+q}(\pi^{-1}(B^p),\pi^{-1}(B^{p-1}))$$

$(B^p,B^{p-1})$是$(p-1)$连通的, $(\pi^{-1}(B^p),\pi^{-1}(B^{p-1}))$也是(通过长正合列). 因此$E^1_{p,q}$仅在$p,q\ge 0$时非平凡, 即在第一象限处. 接下来我们对$E^1$做简化:

$$\begin{aligned} E^1_{p,q}&\cong \bigoplus_{\substack{p-cells\\\sigma:D^p\rightarrow B} }H_{p+q}(\sigma^*E,(\sigma|_{S^{p-1} })^*E)\\ &\cong \bigoplus_{p-cells} H_q(F)\otimes H_p(D^p,S^{p-1})\\ &=C^{cell}_{p}(B;H_q(F)) \end{aligned}$$

其中第一个同构关系由下图表示(具体细节暂略):

那么$\partial_1:E_{p,q}^1\rightarrow E_{p-1,q}^1$是胞腔复形上的微分.

$$E^2_{p,q}=H_p^{cell}(B,H_q(F)).$$

注 3. 谱序列的收敛性由谱序列仅在第一象限非平凡保证.

取纤维丛$U(1)\rightarrow U(2)\rightarrow S^3,$ $U(2)$可迁地作用在$S^3$上, $(1,0)$的稳定子同构于$U(1).$ $S^3=U(2)/U(1).$ 我们有Leray-Serre谱序列:

$$E^2_{p,q}=H_p(S^3;H_q(S^1))\cong H_p(S^3)\otimes H_q(S^1).$$

此时谱序列从第二页开始就不再变化. 由于谱序列中只有一个平凡项, $E^\infty=H_p(U(2))=\mathbb{Z},$ $p=0,1,2,3,$ 其余为零.

文章最后更新于 2022-09-22 19:38:54