《微分流形》笔记-李群

Introduction to smooth manifolds by John M. Lee

定义

李群就是指能够成为光滑流形的群, 且乘法和求逆都是光滑映射. 它们往往具有非常好的对称结构. 回忆对于群结构的封闭性, 只需验证$ab^{-1}$的封闭性即可. 类似地, 我们只需说明$(a,b)\mapsto ab^{-1}$的光滑性, 来代替乘法和求逆光滑性的说明.

我们定义左平移, 右平移算子$L_g,R_g:G\rightarrow G,$

$$L_g(h)=gh,\quad R_g(h)=hg.$$

它们都是光滑映射, 且为微分同胚.

例子

下面列举一些常见李群.

$GL(n,\mathbb{R})$称为一般线性群, 是矩阵空间$M(n,\mathbb{R})$中的开子流形, 为全体可逆矩阵. 它在矩阵乘法的意义下成为群, 容易验证它是一个李群. 记$GL^+(n,\mathbb{R})$为其中行列式取正的全体矩阵, 它也是一个李群. 一般的, 任意李群的开子群(是开流形的子群)都还是一个李群. 复一般线性群$GL(n,\mathbb{C}),$ 实/复线性空间$V\rightarrow V$的全体可逆线性映射$GL(V)$也都是李群.

一些更为常见的空间, 如$\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n,\mathbb{R}^\ast ,\mathbb{R}^+,\mathbb{C}^\ast ,S_1,T^n$等都是李群. 李群的直积还是李群. 离散群也可以是李群.

李群间的同态

李群$G,H$间的同态指一个光滑映射$F:G\rightarrow H,$ 满足群同态的要求. 它是李群间的同构, 若其是一个微分同胚.

举一些李群同态的例子, 一些包含映射是显然的同态, $\exp:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+$与其逆映射$\log,$ $\det:GL(n,\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}^\ast $都是李群同态. 特别地共轭算子$C_g:h\mapsto ghg^{-1}$是李群$G\rightarrow G$上的同构.

定理 1. 每个李群间的同态秩为常数.

我们首先说明对于同态$F,$ 它和平移算子可交换:

$$F(L_{g}(h))=F(gh)=F(g)F(h)=L_{F(g)}(F(h)).$$

因此在$e$点考虑微分, $dF_{g}d(L_g)_e=d(L_{F(g)})_{\widetilde{e} }dF_e.$ 由于平移算子是微分同胚, 切映射满秩. 因此$r(dF_g)=r(dF_e).$ 这就说明了同态秩恒为常数.

结合秩定理, 我们立即得到:

推论 2. 李群同态是李群间的同构当且仅当它是双射.

万有覆盖群

考虑$G$的万有覆盖空间, 我们可以在其上定义群结构, 从而有如下定理成立.

定理 3. 令$G$为连通李群, 存在单连通李群$\widetilde{G}$与光滑覆盖映射$\pi:\widetilde{G}\rightarrow G,$ 且为群同态. 称$\widetilde{G}$为$G$的万有覆盖群. 它也在群同构的意义下是唯一的, 保持覆盖映射.

李子群

李子群即是赋予了拓扑与光滑结构的子群, 它是一个子流形. 容易说明子群作为嵌入子流形自动是李子群.

引理 4. 设$H\subset G$为开子群, 那么$H$是嵌入李子群, 它也是闭的, 为$G$中的若干连通分支之并.

开流形自动是嵌入子流形. 注意到陪集$gH$总是开的, 因为它是微分同胚$L_g$下开集的像. 从而$G\setminus H$是若干开陪集的并, 故$H$也是闭的, 进而得到结论.

命题 5. 设$G$是李群, $W\subset G$为幺元处邻域, 则$W$生成了$G$中的开子群. 当$W$连通时, 生成子群也连通; 当$G$连通时, $W$生成了$G.$

记$W$生成了$H,$ 那么$\,\forall\,h \in H,$ $hW\subset H,$ 因此$h$周围包含了平移过来的幺元处的邻域, 从而$H$是开的. 当$W$连通时, 只需证$\,\forall\,h\in H,$ $e,h$道路连通即可. 事实上$h$为$W$中元素及其逆的有限乘, 我们只需证明$h$与$hg$道路连通即可, $\,\forall\,h\in H,$ $g\in W.$ 这样归纳地即可得出结论.

然而$h,hg\in hW,$ $hW$是$L_h$下连通集的像, 也连通, 命题得证. 最后若$G$连通, 由前面引理, $H$也是闭的, 因此$H$就是全空间$G.$

可见李群$G$中含幺元的连通分支$G_0$很关键, 我们也称它为幺元分支(identity component). 可以证明它是$G$中的正则子群, 且是唯一一个连通开子群. 每个$G$的连通分支都与$G_0$微分同胚.

由前面关于同态秩为常数的结论, 以及秩定理, 我们有:

命题 6. 令$F:G\rightarrow H$为李群间的同态, 那么$\ker F$是逆紧嵌入的李子群, 余维数恰为$r(F).$

命题 7. 若$F:G\rightarrow H$为李群单同态, 那么$F$的像具唯一光滑结构, 使得$F(G)$为李子群, 且$F:G\approx F(G)$为李群同构.

$SL(n,\mathbb{R})$为行列式为$1$的$n$阶实矩阵全体, 称为$n$阶特殊线性群. 它是$\det GL(n,\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}^\ast $下的核, 因此是逆紧嵌入的李子群. 由于$\det$为满射, 分析秩得到$SL(n,\mathbb{R})$为$n^2-1$维子流形. 同理, 也有复特殊线性群与类似的结论.

我们知道对于光滑子流形, 闭性与嵌入性并没有什么显然的联系, 然而对李子群是有的. 利用拓扑语言分析有:

定理 8. 设$G$为李群, $H\subset G$为李子群, 那么$H$在$G$中是闭的当且仅当它是嵌入的.

由该定理, 每个嵌入李子群也自动是逆紧嵌入的. 因为嵌入子流形逆紧当且仅当其闭.

群作用与等变映射

群作用

李群在$M$上的群作用是李群最关键的应用之一. 李群$G$在黎曼流形$M$上的左作用指映射$G\times M\rightarrow M,$ 满足:

$$g_1(g_2p)=(g_1g_2)p,\quad ep=p.$$

右作用类似定义. 当映射光滑时, 称作用为光滑作用. 一般的, 我们会将作用如左作用记为$\theta_g(p)L=gp,$ 从而条件变为:

$$\theta_{g_1}\theta_{g_2}=\theta_{g_1g_2},\quad \theta_e=\mathrm{id}_M.$$

右作用类似. 对于光滑作用, $\theta_g:M\approx M$为微分同胚, 以$\theta_{g^{-1} }$为逆.

参考经典群论, 我们有轨道与稳定子的概念, 以及作用的可迁与自由性.

一些经典的群作用的例子是矩阵群在$\mathbb{R}^n$上的自然作用, 李群在自己本身上的左作用, 共轭作用等, 以及作用在覆盖空间上的deck变化.

命题 9. 对于覆盖映射$\pi:E\rightarrow M,$ 取离散拓扑的自同构群$\operatorname{Aut}_\pi(E)$为零维李群, 光滑自由地作用在$E$上.

等变映射

称映射$F:M\rightarrow N$关于给定$G$-群作用是等变的, 若对于左作用有

$$F(gp)=gF(p)$$

右作用类似.

定理 10. 有光滑流形$M,N$与李群$G.$ 若$F:M\rightarrow N$为光滑映射, 关于$M$上可迁光滑群作用与$N$上光滑群作用是等变的, 那么$F$秩为常数.

对$\varphi_gF=F\theta_g$做微分求切映射, 说明$\,\forall\,p,q\in M,$ $r(dF_p)=r(dF_q)$即可.

等变秩定理有一个重要的应用. 对左作用$\theta,$ 定义$\theta^{(p)}:G\rightarrow M,$

$$\theta^{(p)}(g)=\theta_g(p).$$

称为轨道映射, 它的像是轨道$Gp.$

命题 11. 轨道映射$\theta^{(p)}:G\rightarrow M$光滑且秩为常数, 故稳定子群$G_p$是逆紧嵌入的李子群. 若作用自由, 轨道$Gp$是$M$中的子流形.

轨道映射是光滑的, 因为有如下分解:

$$G\approx G\times\{p\}\hookrightarrow G\times M\xrightarrow{\theta}M$$

事实上它是一个等变映射, $\theta^{(p)}(gh)=g\theta^{p}(h).$ 因此由上一命题即可得到结论. 若作用自由, $\theta^{(p)}$是单射, 由整体秩定理它是浸入, 从而轨道都是子流形.

我们可以构造等变映射来计算李群的维数.

文章最后更新于 2022-09-28 22:31:58