《微分流形》笔记-横截性

Introduction to smooth manifolds by John M. Lee

定义

称$M$中两个嵌入子流形$S,S’$是横截相交的, 若$\,\forall\,p\in S\cap S’,$ 切空间$T_pS,T_pS’$张成了$T_pM.$ 更一般地我们将它定义到函数上: 设$F:N\rightarrow M$为光滑映照, $S\subset M$为嵌入子流形. 称$F$与$S$横截相交, 若$\,\forall\,x\in F^{-1}(S),$ $T_{F(x)}S,dF_x(T_{xN})$张成了$T_F(x)M.$

定理 1. 若$F:N\rightarrow M$与嵌入子流形$S\subset M$横截相交, 那么$F^{-1}(S)$是$N$中的嵌入子流形, 余维数与$S$在$M$中的余维数相同. 若$S’$与$S$横截相交, 那么$S’\cap S$是$M$中的嵌入子流形, 余维数为$S,S’$余维数之和.

利用秩定理即可给出证明. 由于淹没自动是横截相交的, 我们有推论:

推论 2. 设$N,M$是光滑流形, $S\subset M$是余维数为$k$的嵌入子流形, $F:N\rightarrow M$为淹没. 那么$F^{-1}(S)$是余维数为$k$的嵌入子流形.

横截性提供了更为简洁的判别函数图像的方法. 下面的定理是隐函数定理的整体形式.

定理 3. 设$M,N$为光滑流形, $S\subset M\times N$为子流形, $\pi_M,\pi_N$为$M\times N$上的投影. 那么如下的命题是等价的:

1. $S$为某光滑映照$f:M\rightarrow N$的图像.

2. $\pi_M|_S:S\approx M$为微分同胚.

3. $\,\forall\,p\in M,$ $S$与$\{p\}\times N$在且仅在一点横截相交.

若条件满足, 那么$S$为$f=\pi_N\circ (\pi_M|_S)^{-1}$的图像.

推论 4. 设$M,N$为光滑流形, $S\subset M\times N$为子流形, $(p,q)\in S.$ 若$S$与$\{p\}\times N$在$(p,q)$点横截相交, 那么存在$p$点邻域$U\subset M$与$(p,q)$点邻域$V\subset S,$ 使得$V$是光滑映照$f:U\rightarrow N$的图像.

应用Sard定理可以证明下面的重要定理:

定理 5 (参数化横截性定理). 设$N,M$为光滑流形, $X\subset M$为嵌入子流形. 若光滑映照$F:N\times S\rightarrow M$与$X$横截相交, 那么对几乎处处的$s\in S,$ $F_s:N\rightarrow M$与$X$横截相交.

为了应用参数化横截性定理, 我们需要一族满足要求的函数. 由下面的定理, 这是可以做到的.

定理 6 (横截同伦定理). 设$M,N$为光滑流形, $X\subset M$为嵌入子流形. 每个光滑映照$f:N\rightarrow M$同伦于一个光滑函数$g:N\rightarrow M,$ 与$X$横截.

文章最后更新于 2022-09-29 17:55:02