《代数拓扑2》笔记(6)-边同态

上同调的Leray-Serre谱序列

一些不加说明的具体构造过程如下所示:

$$F\rightarrow E\xrightarrow{\pi}B,$$ $$\cdots \subset B^p\subset B^{p+1}\subset \cdots,$$ $$E^p:=\pi^{-1}(B^p),$$ $$\cdots\subset E^p \subset E^{p+1}\subset\cdots,$$ $$F_pC_\ast (E):=C_\ast (E^p),\quad F_pC^\ast (E):=\operatorname{Ann}(F_{p-1}C_\ast )=\{f:f|_{F_{p-1}C_\ast }=0\}\subset \operatorname{Hom}(C_\ast ;R).$$

$F_pC^\ast (E)$是$C^\ast (E)$上的一列递减滤列. 从而构造谱序列.

边同态

在第一象限, 我们有自然的映射列:

$$E_\infty^{0,q}\hookrightarrow\cdots\hookrightarrow E_3^{0,q}\hookrightarrow E_2^{0,q}$$ $$E_2^{p,0}\twoheadrightarrow{E_3^{p,0} }\twoheadrightarrow\cdots \twoheadrightarrow E_\infty^{p,0}$$

那么,

$$E_\infty^{0,q}=G_0H^q,\quad H^q\twoheadrightarrow{E_\infty^{0,q} }$$ $$E_\infty^{p,0}=G_pH^p,\quad E_\infty^{p,0}\hookrightarrow H^p.$$

用上面映射的复合定义边同态:

$$H^q\twoheadrightarrow E_\infty^{0,q} \hookrightarrow E_2^{0,q},$$ $$E_2^{p,0}\twoheadrightarrow E_\infty^{p,0}\hookrightarrow H^p$$

考虑谱序列

$$F\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}B,$$

$F$连通, $B$单连通. 那么边同态

$$H^q(E;R)\twoheadrightarrow E_\infty^{0,q}\hookrightarrow E_2^{0,q}= H^0(B;H^q(F;R))=H^q(F;R).$$

是$\iota^\ast =H^q(\iota).$ 若$\iota^\ast $是满射, 那么上行的嵌入也是满射, 从而是同构, 得到谱序列的信息.

$$H^p(B;R)=H^p(B;H^0(F,R))=E_2^{p,0}\twoheadrightarrow E_\infty^{p,0} \hookrightarrow H^p(E;R)$$

是$\pi^\ast =H^p(\pi).$ 若$\pi^\ast $是单射, 那么上行的满射是同构.

Leray-Hirsch定理

定理 1. 对于纤维化$F\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}B,$ $B$道路连通. 若$\iota^\ast :H^q(E)\rightarrow H^q(F)$是满射, $\,\forall\,q,$ 且$H^\ast (F)$是有限生成自由Abel群, 那么$H^\ast (E)\cong H^\ast (B)\otimes H^\ast (F)$作为$H^\ast (B)$模同构.

证明思路: 满射的条件给出$\pi_1(B)$在$H^\ast (F)$上的作用是平凡的. 而有限生成自由Abel的条件说明了

$$E_2^{p,q}=H^p(B;H^q(F))\cong H^p(B)\otimes H^q(F).$$

由于边上的微分都是零, 由微分的导子性质, 所有地方的微分都是零. 这就立刻得到了谱序列从第二页开始就不再变化, 从而收敛得到结论.

若我们能够找到$\iota,\pi$对应的截面, 那么立即有$\iota^\ast ,\pi^\ast $是满射/单射.

Hurewicz定理及其推广

定理 2 (Hurewicz). 设$X$是单连通的, 那么$\pi_i(X)=0,$ $\,\forall\,i<n$ 当且仅当$\widetilde{H}_i(X)=0,$ $\,\forall\,i<n.$ 若条件满足, 那么$\pi_n(X)\cong H_n(X).$

对$n$归纳, 考虑道路纤维化:

$$\Omega X\rightarrow PX\rightarrow X$$

其中$\Omega X$是环空间, $PX$是道路空间, 可缩. $\,\forall\,q<n-1,$ 由归纳假设,

$$0=\pi_{q+1}(X)\cong \pi_q(\Omega X)\cong H_q(\Omega X).$$ $$\pi_n(X)\cong \pi_{n-1}(\Omega X)\cong H_{n-1}(\Omega X).$$

我们的目标是关联$H_\ast (\Omega X),$ $H_\ast (X).$

由Leray-Serre谱序列, $E^2_{p,q}=H_p(X;H_q(\Omega X)),$ 但由于$PX$可缩, $E^\infty_{p,q}=0$除了$E^\infty_{0,0}.$ 也就是$E^2_{p,q}$上所有元素都会被消灭(除了$(0,0)$). 那么由下面的谱序列立即得到结论.

Serre类

Serre类$\mathscr{C}$是一个由Abel群组成的非空集, 使得对任意短正合列

$$0\rightarrow A\rightarrow B \rightarrow C\rightarrow 0,$$

$B\in \mathscr{C}$当且仅当$A,C\in \mathscr{C}.$ 我们称$\mathscr{C}$是”好”的, 若

$$\,\forall\,A,B\in \mathscr{C},\quad A\otimes B,\operatorname{Tor}(A,B)\in \mathscr{C}.$$

几个例子是: $\{0\}$,{挠Abel群(每个元素阶有限)}, {有限Abel群}. {有限生成Abel群}, {$p$群(每个元素阶为$p^n$)}.

我们定义$f:A\rightarrow B$是$\mathscr{C}$单射若$\ker f\in \mathscr{C};$ 称它是$\mathscr{C}$满射, 若$\operatorname{coker}f\in \mathscr{C}.$ 称它是$\mathscr{C}$同构若满足以上两个条件.

定理 3 (推广Hurewicz). 令$X$是单连通的, $\mathscr{C}$是好Serre类. 那么$\pi_i(X)\in \mathscr{C},$ $\,\forall\,i<n$ 当且仅当$\widetilde{H}_i(X)\in \mathscr{C},$ $\,\forall\,i<n.$ 若条件成立, $\pi_n(X)\rightarrow H_n(X)$是$\mathscr{C}$同构.

证明思路: 对$n$归纳.

$$\,\forall\,q<n-1, \quad \mathscr{C}\ni \pi_{q+1}(X)\cong_\mathscr{C}H_q(\Omega X),\qquad \pi_n(X)\cong_\mathscr{C}H_{n-1}(\Omega X).$$ $$E^2_{p,q}=H_p(X;H_q(\Omega X)),\quad H_{\ast }(PX)=H_{\ast }(\ast )$$

从而由$H_q(\Omega X)\in \mathscr{C},$ $E^2_{p,q}\in \mathscr{C}.$ 再次由谱序列得到结论.

推论 4. 若$X$是单连通有限CW复形, 那么$\pi_i(X)$是有限生成的, $\,\forall\,i.$

注 5. $\pi_2(S^1\vee S^2)$并不是有限生成的.

文章最后更新于 2022-10-03 17:32:02