《几何分析》笔记(7)-Laplace比较定理

准备工作

$r(x)=d(p,x)$是$M$上的Lipschitz函数, 进一步它在$W^{1,p}_{loc}(M)$中. 我们希望推导得到:

$$-\int_M\nabla_g r\nabla_g \varphi\le \int_M (n-1)\frac{sn_k'(r)}{sn_k(r)}\varphi dV_g,\quad \,\forall\,\varphi\ge 0,\varphi\in \mathscr{D}(M).$$

对于割迹$\operatorname{Cut}=N_p\cup A_p,$ $\,\forall\,p>n-2,$ $\,\exists\,r_k,r_k’\rightarrow 0,$ $\,\exists\,\phi_k\in W^{1,n-p}\cap C^0,$ 满足

$$\phi_k|_{B_{r_k}^g(A_p)^c}\equiv 0,\quad \phi_k|_{B_{r_k}^g(A_p)}\equiv 1,$$

且$\int |\nabla \phi_k|^{n-p}\rightarrow 0.$

分部积分

首先考虑将不等式左侧写成更方便的形式.

$$-\int_M\nabla_g r\nabla_g\varphi dV_g=\lim_{k\rightarrow +\infty} -\int_M \nabla_g r\nabla_g(1-\varphi_k)\varphi dV_g.$$

记后面的积分为$I,$ 则

$$\begin{aligned} I&= -\int_{\widehat{C}_p\cap \widehat{S}_p} \nabla_{\widehat g}r\nabla_{\widehat g}(1-\phi_k)\varphi dV_{\widehat{g} }\\ &=\int_{\widehat{S}_p}\Delta_{\widehat g}r(1-\phi_k)\varphi-\int_{ {\widehat N}_p}\frac{\partial {}r}{\partial {}n}(1-\phi_k)\varphi\\ &=\int_M(\Delta_g r)(1-\phi_k)\varphi-\int_{N_p}J(x)(1-\phi_k)\varphi\\ &\rightarrow \int_{S_p}(\Delta_g r)\varphi dV_g-\int_{N_p }J(x)\varphi. \end{aligned}$$ $$J(x):=n_1\cdot \gamma_1'+n_2\cdot\gamma_2'\ge 0.$$

那么$\,\forall\,\varphi\in \mathscr{D}(M\setminus\{p\}),$

$$-\int_M\nabla_gr\nabla_g\varphi dV_g=\int_{S_p}\Delta_gr\varphi dV_g-\int_{N_p} J(x)\varphi(x)d\mathcal{H}^{n-1}.$$

事实上可以取$\varphi\in \mathscr{D}(M).$ 考虑$\eta=\begin{cases} 1, &t>2\\ \in[0,1], &1\le t\le 2\\ 0, &t<1 \end{cases},$ $\eta_\varepsilon=\eta(d(x,p)\varepsilon^{-1}),$ $\varepsilon<\operatorname{Inj}(p).$

$$|\nabla_g\eta_\varepsilon|=|\eta'| \frac{|\nabla_g r|}{\varepsilon}\le \frac{\Vert\eta'\Vert_{C_0} }{\varepsilon},\quad \eta_\varepsilon\varphi\in \mathscr{D}(M\setminus\{p\}).$$

那么代入$\eta_\varepsilon\varphi,$ 令$\varepsilon\rightarrow 0$即可得到结论. 也就是$\varphi$可以在$\mathscr{D}(M)$中选取.

弱意义

由上面证得的公式,

$$\Delta_g r=(\Delta_g r)\chi_{S_p}-\mu,$$

$\mu$为一个Radon测度, 可写为$\mu=J(x)\mathcal{H}^{n-1}|_{N_p},$ 即

$$\int_M\varphi d\mu=\int_{N_p}\varphi Jd\mathcal{H}^{n-1}$$

由$J\ge 0,$ 我们就立即得到了前面的弱意义下(在函数空间$\mathscr{D}_+(M)$上)的Laplace比较定理.

闸函数

在闸函数意义下也有相应的Laplace比较定理.

回忆对于有界开集$\Omega,$ $p\in \Omega,$ $f\in C^2(\Omega).$ 若$f(p)=\min_\Omega f,$ 则$\Delta_g f(p)\ge 0.$ 那么若$\,\exists\,\varphi\in C^2(\Omega),$ $\varphi\ge f,$ $\varphi(p)=f(p),$ 则$\varphi(p)-f(p)=\min_\Omega(\varphi-f),$ 从而$\Delta \varphi(p)\ge \Delta f(p).$

定义 1. 设$f$在$p$点附近连续. 称$\varphi$是$f$在$p$处的上闸函数, 若$\varphi\ge f,$ $\varphi=f(p).$ 定义闸函数意义下$\Delta f(p)\le C$指$\,\forall\,\varepsilon>0,$ $\,\exists\,$上闸函数$\varphi,$ 使得$\Delta \varphi\le C+\varepsilon.$

类似地, 可以定义下闸函数. 若上下闸函数对同一常数$C$同时存在, 则可定义$\Delta f(p)=C.$ 接下来, 我们证明在闸函数意义下,

$$\Delta r\le (n-1)\frac{sn_k'(r)}{sn_k(r)}.$$

对$x\in M\setminus\{p\},$ 取$\gamma$为连接$p$到$x$的线段. 取$x_\varepsilon=\gamma(\varepsilon).$ 定义$r_\varepsilon(x):=d(x,x_\varepsilon)+\varepsilon\ge d(x,p).$ 容易证明$x\in S_{x_\varepsilon},$ 因此$r(x)=r_\varepsilon(x).$ 而在$\operatorname{Ric}\ge (n-1)K$的条件下,

$$\Delta_g r_\varepsilon=\Delta_g d(x,x_\varepsilon)\le (n-1)\frac{sn_k'}{sn_k}(d(x,x_\varepsilon)),$$

这就说明了在闸意义下, $\Delta_gr\le (n-1)\frac{sn_k’}{sn_k}(r).$

文章最后更新于 2022-10-03 23:21:28