《代数拓扑2》笔记(7)-向量丛

基本概念

对于纤维丛

$$F\rightarrow E\rightarrow B,$$

若$F$是$n$维(实)向量空间, 且局部平凡化还是保持向量空间结构的, 则称其为秩$n$(实)向量丛. 切丛, 法丛, 平凡向量丛丛都是典型的向量丛.

$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$上有一个典型的向量丛, 是线丛. 定义为:

$$E(\gamma_n^1):=\{(l,v)\in \mathbb{R}\mathrm{P}^n\times \mathbb{R}^{n+1}|v\in l\}.$$

记$\xi$为向量丛$F\rightarrow E\xrightarrow{\pi}B.$ 定义$\xi$上的截面为映射$s:B\rightarrow E,$ 使得$B\xrightarrow{s}E\xrightarrow{\pi}B$为恒等映射. 称同一底空间$B$上的向量丛$\xi\cong \eta$为同构, 若$\,\exists\,$同胚$f:E(\xi)\rightarrow E(\eta),$ 使得$\,\forall\,b\in B,$ $f|_{F_b(\xi)}:F_b(\xi)\cong F_b(\eta)$为向量空间间的同构.

命题 1. $\,\forall\,n\ge 1,$ $\gamma_n^1$没有非平凡处处不消失的截面. 因此$\gamma_n^1$不同构于平凡丛.

设$s:\mathbb{R}\mathrm{P}^n\rightarrow E(\gamma_n^1)$为一个截面, 考虑

$$\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{R}\mathrm{P}^n\xrightarrow{s} E(\gamma_n^1),$$ $$v\mapsto ([v],t(v)v).$$

然而$v,-v$生成同一处截面, 因此$t(-v)=-t(v).$ 设$t(v)>0,$ 则$t(-v)<0,$ 那么由$\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}$的连通性, 必有点$w$使得$t(w)=0,$ 故截面在$[w]$处消失. (介值定理)

命题 2. 秩$n$向量丛$\xi$平凡当且仅当$\xi$上存在$n$个截面, 处处线性无关.

平凡丛找截面平凡. 假设存在这样的$n$个截面, 定义映射$B\times \mathbb{R}^n\xrightarrow{f} E(\xi),$

$$\left(b,\sum t_ie_i\right)\mapsto \sum t_is_i(b)$$

这是一个向量丛间的同构.

向量丛的构造

诱导丛(拉回丛)

给定向量丛$\xi,$ 连续映照$B_1\rightarrow B,$ 那么

$$f^\ast E:=\{(b,e)\in B_1\times E|f(b)=\pi(e)\}.$$

也就是对于$b,$ 把$E$上的$f(b)$处的纤维拉回.

定义$\eta,\xi$间的丛映射为连续映照$E(\eta)\xrightarrow{g}E(\xi),$ 使得它保持纤维, 且在纤维上是线性同构.

引理 3. 给定如上所述的丛映射, 我们有$\eta\cong (g|_{B(\eta)})^\ast \xi.$

只需验证$h:E(\eta)\rightarrow E((g|_{B(\eta)})^\ast \xi),$ $e\mapsto (\pi(e),g(e))$为同构.

笛卡尔积

给定向量丛$\xi_1,\xi_2,$ 定义$\xi_1\times \xi_2$为

$$\pi_1\times\pi_2:E_1\times E_2\rightarrow B_1\times B_2,$$

纤维为

$$(\pi_1\times\pi_2)^{-1}(b_1,b_2)=F_{b_1}(\xi_1)\times F_{b_2}(\xi_2).$$

Whitney和

对于同一底空间$B,$ 给定向量丛$\xi_1,\xi_2,$ 对角映射$d:B\rightarrow B\times B.$ 定义向量丛$\xi_1\oplus \xi_2:=d^\ast (\xi_1\times \xi_2),$ 其上纤维为

$$F_b(d^\ast (\xi_1\times\xi_2))=F_b(\xi_1)\times F_b(\xi_2)\cong F_b(\xi_1)\oplus F_b(\xi_2).$$

一般的, 向量空间上的操作都给出了向量丛上的操作, 依纤维操作即可, 如还可以定义向量丛上的张量积, 反称/对称化, 对偶从等.

欧氏向量丛

欧氏向量空间是一个向量空间, 配备了一个正定二次型$\mu:V\rightarrow \mathbb{R},$ 即$\mu(\lambda v)=\lambda^2\mu(v),$ $\mu(v)>0,$ $\,\forall\,v\neq 0.$ 那么$\mu$定义了$V$上的内积.

一个欧氏向量丛是向量丛, 每个纤维都是欧氏向量空间. 若$\xi$是欧氏的, 那么对于子丛$\eta,$ $\eta^\perp\oplus\eta=\xi.$

一个事实是每个Hausdorff, 预紧的底空间上的向量丛都可以给定欧氏度量. CW复形, 度量空间, $\mathbb{R}^N$中流形上都可以给定欧氏度量.

文章最后更新于 2022-10-05 15:51:36