《代数拓扑》复习-同伦论

同伦群

$n$维同伦群$\pi_n(X,x_0)$定义为映射$f:(I^n,\partial I^n)\rightarrow (X,x_0)$的同伦类全体. 同伦$f_t$满足$f_t(\partial I^n)\equiv x_0.$ 也可视为$f:(S^n,s_0)\rightarrow (X,x_0)$的同伦类全体.

考虑$I^{n-1}\subset I^n,$ $J^{n-1}:=\partial I^n\setminus I^{n-1}.$ 那么相对同伦群$\pi_n(X,A,x_0)$定义为映射$(I^n,\partial I^n, J^{n-1})\rightarrow (X,A,x_0)$的同伦类全体. 也可视为$(D^n,S^{n-1},s_0)\rightarrow (X,A,x_0)$的同伦类全体. 相对同伦群有长正合列:

$$\cdots\rightarrow \pi_n(A,x_0)\xrightarrow{i_\ast }\pi_n(X,x_0)\xrightarrow{j_\ast }\pi_n(X,A,x_0)\xrightarrow{\partial} \pi_{n-1}(A,x_0)\rightarrow\cdots\rightarrow \pi_0(X,x_0)$$

类似于同调的情况, 我们也能证明更一般的三元组$(X,A,B)$的情况, 当$B=x_0$时即为上面的式子.

$X$中的道路$\gamma$也能诱导不同基点同伦群间的同构$\beta_\gamma,$ 从而道路连通的情况可省去基点$x_0.$ 称空间$X$是$n$连通的, 若$\pi_i(X)=0,$ $\,\forall\,i\le n.$ $n$连通当且仅当所有$X$中$S^i$都是可缩的(用映射的观点来看), $\,\forall\,i\le n.$ 相对同伦的情况类似.

CW复形同伦论

胞腔逼近

定理 1 (Whitehead). 若CW复形间的映射$f:X\rightarrow Y$诱导了同伦群上的同构$f_\ast :\pi_\ast (X)\cong \pi_\ast (Y),$ 则$f$是一个同伦等价. 若$f$还是包含$X\hookrightarrow Y,$ 则结论更强: $X$是$Y$的强形变收缩核.

定理 2 (胞腔逼近). 每个CW复形间的映射$f:X\rightarrow Y$同伦于一个胞腔映射, 即将胞腔映到(比自己维数低的)胞腔.

对给定对$(X,A),$ $A$为非空CW复形. 它的一个$n$连通CW模型指一个$n$连通CW对$(Z,A),$ $f:Z\rightarrow X$在$A$上为恒等映射, 且$f_\ast :\pi_i(Z)\rightarrow \pi_i(X)$在$i>n$时为同构, 对$i=n$为满射.

命题 3. 每个这样的对$(X,A)$都存在一个$n$连通CW模型$f:(Z,A)\rightarrow (X,A),$ $\,\forall\,n\ge 0.$ $Z$由$A$贴$n$维以上胞腔而得.

当$n=0$时, 情况最为特殊. 取$Z$包含$A$的一个连通分支, 即有CW逼近$f:Z\rightarrow X,$ 诱导了所有同伦群的同构, 是弱同伦等价. 事实上, 可以证明$(X,A)$的$n$连通CW模型是在关于$A$相对同伦等价的意义下唯一的. 特别的, 空间的CW逼近是在同伦等价意义下唯一的.

命题 4. 弱同伦等价$f:X\rightarrow Y$诱导了全体同调/上同调群的同构, 关于任意系数群$G.$

挖去定理

关于同伦我们也有挖去定理, 由如下的命题表示:

定理 5. 对于CW复形$X,$ 有子复形$A\cap B=C.$ 若$(A,C)$是$m$连通的, $(B,C)$是$n$连通的, 则由嵌入映射诱导的$\pi_i(A,C)\rightarrow \pi_i(X,B)$为同构, $\,\forall\,i<m+n.$ 对于$i=m+n$为满射.

推论 6 (Freudenthal). $\pi_i (S^n)\rightarrow \pi_{i+1}(S^{n+1})$为同构, $i<2n-1.$ $i=2n-1$为满射. 更一般的, 这对$\pi_i(X)\rightarrow\pi_{i+1}(SX)$也成立, 只要$X$为$n-1$连通CW复形.

命题 7. (Eilenberg-Maclane空间)CW复形$K(G,n)$在同伦意义下唯一, 仅由$G,n$决定.

Hurewicz定理

定理 8. 若空间$X$是$(n-1)$连通的, 则$\widetilde H_i(X)=0,$ $\,\forall\,i<n;$ $\pi_n(X)\cong H_n(X).$ 相对同伦类似.

换句话说, 只要$X$是单连通的, 那么非平凡的同伦群和同调群发生在统一维数, 且是同构的. 结合Whitehead定理我们可以证明如下的结论. (把$Y$换成$M_f$.)

推论 9. 若$f_\ast :H_\ast (X)\cong H_\ast (Y),$ 则单连通CW复形间的映射$f:X\rightarrow Y$为同伦等价.

纤维丛

纤维丛$F\rightarrow E\xrightarrow{p} B$指$\,\forall\,b\in B,$ $p^{-1}(b)\approx F,$ 且有局部平凡化$p^{-1}(U)\approx U\times F.$ 纤维化还要求$p$关于$X$满足同伦提升性质: $\,\forall\,g_t:X\rightarrow B$满足$g_0$有提升$\widetilde g_0,$ 则整体存在提升$\widetilde{g}_t.$

定理 10. 若纤维丛$F\rightarrow E\rightarrow B$关于圆盘都是纤维化(称为Serre纤维化), 则有如下长正合列:

$$\cdots \rightarrow \pi_n(F,x_0)\rightarrow \pi_n(E,x_0)\rightarrow \pi_n(B,b_0)\rightarrow \pi_{n-1}(F,x_0)\rightarrow \cdots\rightarrow \pi_0(E,x_0)\rightarrow 0.$$

注意到这即是$\pi_n(E,F,x_0)\cong \pi_n(B,b_0).$ 事实上, 我们有如下性质, 说明纤维丛差不多都是纤维化:

命题 11. 纤维丛$p:E\rightarrow B$关于任意CW复形对$(X,A)$都有同伦提升性质.

稳定同伦群

对于$n$连通CW复形$X,$ 我们有$\pi_i(X)\cong \pi_{i+1}(SX),$ $i<2n+1.$ 特别的对$i\le n$成立, 因此$SX$是$n+1$连通的. 我们有如下的suspensions序列

$$\pi_i(X)\rightarrow \pi_{i+1}(SX)\rightarrow \pi_{i+2}(S^2X)\rightarrow \cdots$$

当$i<2n+1$时, 它们都是同构. 记这些群为$\pi_i^s(X),$ 称为稳定同伦群.

文章最后更新于 2022-10-11 17:51:42