《代数拓扑2》笔记(10)-万有丛与示性类

万有丛

一个秩$n$实向量丛$\gamma^n$称为万有丛, 若其满足如下性质: $\,\forall\,$ 仿紧底空间$B,$

1. 任意以$B$为底空间的秩$n$向量丛$\xi,$ 有一个丛映射$\xi\rightarrow \gamma^n.$

2. $\,\forall\,f,g:\xi\rightarrow\gamma^n$为丛映射, 它们在丛映射意义下同伦.

因此, 任意秩$n$向量丛$\xi$都是$\gamma^n$的拉回. 万有丛是在丛同伦等价的意义下唯一的. $B$上秩$n$向量丛的同构类和连续映射$f:B\rightarrow B(\gamma^n)$的同伦类间有一个一一对应.

万有丛的构造

$\,\forall\,n,k\in \mathbb{N},$ 定义Grassman流形

$$G_n(\mathbb{R}^{n+k}):=\{H|\text{$H$为$\mathbb{R}^{n+k}$中的$n$维子空间}\}$$

$GL_{n+k}(\mathbb{R})$可以可迁地作用在$G_n(\mathbb{R}^{n+k}),$ 因此$G_n(\mathbb{R}^{n+k})\cong GL_{n+k}(\mathbb{R})/\operatorname{Stab}_H.$ 设$H=\{e_1,\cdots,e_n\},$ 则

$$\operatorname{Stab}_H=\begin{bmatrix} *&*\\ 0&* \end{bmatrix}\subset GL_{n+k},$$

为$GL_{n+k}$的闭子群. 因此$G_n(\mathbb{R}^{n+k})$为$nk$维的光滑流形.

事实上, 它还是紧的. 这是因为$O_{n+k}\subset GL_{n+k}$就可以可迁地作用在$G_n(\mathbb{R}^{n+k})$上了.

显然可以看出$G_n(\mathbb{R}^{n+k})\cong G_k(\mathbb{R}^{n+k}),$ $H\mapsto H^\perp,$ 且$G_1(\mathbb{R}^{1+k})=\mathbb{R}\mathrm{P}^k.$

定义$G_n(\mathbb{R}^{n+k})$上的典范丛$\gamma_k^n$为

$$E(\gamma_k^n):=\{(H,v)|H\in G_n(\mathbb{R}^{n+k}),v\in H\},$$

构造$\mathbb{R}^\infty,$ 那么我们有

$$G_n(\mathbb{R}^n)\subset G_n(\mathbb{R}^{n+1})\subset\cdots\subset G_n(\mathbb{R}^\infty)=\bigcup_i G_n(\mathbb{R}^{n+i}).$$

定义$\gamma^n$为$G_n(\mathbb{R}^\infty)$上的典范丛. 那么事实上它就是满足前述要求的万有丛.

定理 1. $G_n(\mathbb{R}^\infty)$上的典范从$\gamma^n$为秩$n$万有丛.

引理 2. 设有仿紧集$B$上的秩$n$丛$\xi,$ 存在线性映射$\widehat f:E(\xi)\rightarrow \mathbb{R}^\infty,$ 在每个纤维上是单射.

取局部平凡化$\{U_i\}$覆盖$B.$ 由仿紧性, 我们可以构造可数覆盖且是局部有限的. 取从属于$\{U_i\}$的单位分解$\{\lambda_i\},$ 使得$W_i\Subset V_i\Subset U_i,$ $\lambda_i\in C_0^\infty(V_i),$ $\lambda_i|_{W_i}=1.$ $\sum \lambda_i(x)=1.$

由于$\xi|_{U_i}$是平凡的, 取$h_i:\pi^{-1}U_i\cong \mathbb{R}^n.$ 定义连续映射$h_i’:E(\xi)\rightarrow \mathbb{R}^n,$ $h_i’(e)=\lambda_i(\pi(e))h_i(e).$ 定义$\widehat f:E(\xi)\rightarrow \mathbb{R}^\infty,$ $\widehat f(e):=(h_i’(e))^\infty_{i=0}\in \mathbb{R}^\infty.$ 这就是满足要求的映射了.

我们回到定理的证明: 考虑映射$f:E(\xi)\rightarrow E(\gamma^n),$

$$e\mapsto (\widehat f(F_{\pi(e)}(\xi)),\widehat f(e)),$$

这就是一个丛映射. 接下来对于任意两个丛映射$f,g:\xi\rightarrow \gamma^n,$ 每个都给出$\widehat{f},\widehat g:E(\xi)\rightarrow \mathbb{R}^\infty.$ 定义同伦$\widehat h_t(e)=(1-t)\widehat f(e)+t\widehat g(e),$ $\widehat h_t$是单射, 若$\widehat f(e),\widehat{g} (e)$是线性无关的.

定义$d_{2}:e_i\mapsto e_{2i},$ $d_{1}:e_i\mapsto e_{2i+1},$ 则

$$f\simeq d_1\circ f\simeq d_2\circ g\simeq g.$$

示性类

一个秩$n$向量丛上的示性类是对$\xi$自然地赋予$c(\xi)\in H^\ast (B(\xi);R),$ 使得$c(f^\ast \xi)=f^\ast c(\xi).$ 因此我们只需考虑万有丛上的示性类即可.

考虑计算$H^\ast (G_n(\mathbb{R}^\infty);R).$ 取$R=\mathbb{Z}_2.$ 断言其同构于$\mathbb{Z}_2[w_1,w_2,\cdots,w_n].$

考虑$G_n(\mathbb{R}^\infty)$上的CW结构. 固定

$$\mathbb{R}^0\subset \mathbb{R}^1\subset \cdots \subset \mathbb{R}^m.$$

任意$X\in G_n(\mathbb{R}^m)$给出一个序列:

$$0\le \dim (X\cap \mathbb{R}^1)\le\cdots\le \dim(X\cap \mathbb{R}^m)=n.$$

定义Schubert符号$\sigma=(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)$记录了序列中跳跃的部分, $1\le \sigma_1<\cdots<\sigma_n\le m.$

$$e(\sigma):=\{X\in G_n(\mathbb{R}^m)|\dim (X\cap \mathbb{R}^{\sigma_i})=i,\:\dim(X\cap \mathbb{R}^{\sigma_i-1})=i-1\}.$$

断言$\{e(\sigma)\}$组成了$G_n(\mathbb{R}^m)$的CW结构. 令$H^k\subset \mathbb{R}^k$为$x_k>0$的上半平面,

引理 3. 每个$X\in e(\sigma)$有唯一一个正交基$(x_1,\cdots,x_n)\in H^{\sigma_1}\times\cdots\times H^{\sigma_n}.$

只需注意到下面的序列, 由线性空间的基本知识即得.

$$\dim(X\cap \mathbb{R}^\sigma_1)=1,\quad \dim(X\cap \mathbb{R}^\sigma_2)=2,\quad \cdots.$$ $$e'(\sigma):=\{(x_1,\cdots,x_n)|\{x_i\}\text{正交, }x_i\in H^{\sigma_i}\}.$$

对$n$做归纳, 即可得到$\overline e’(\sigma)\cong$闭球.

文章最后更新于 2022-10-14 16:39:02