《代数拓扑2》笔记(17)-障碍性理论

示性类与障碍性理论

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定理 1. 假设$F\rightarrow E\rightarrow B$为纤维丛, $F$是$n$-simple的, $B$为CW复形. 令$s$为$B^{n-1}$上的截面, 可以被延拓到$B^n$上. 那么$s$可以被延拓为$B^{n+1}$上的截面当且仅当$ob(s)\in H^{n+1}(B;\pi_n(F))$为零.

注 2. 一般地, $\pi_1B$在$\pi_nF$上可能有作用, $H^{n+1}(B;\pi_n(F))$是局部系数的. 若$F$是$(n-1)$连通的, 那么第一障碍类$ob(s)\in H^{n+1}(B,\pi_n(F))$与$s$选取无关. 此时它也是自然的, 拉回丛上的障碍类就是障碍类的拉回.

SW类作为障碍

定义Stiefel流形: $V_k(\mathbb{R}^n):=\{(v_1,\cdots,v_k)|\mathbb{R}^n\text{中标准正交}\}\cong O(n)/O(n-k).$ 给定$\xi$为秩$n$实向量丛(配备度量), $\mathbb{R}^n\rightarrow E\rightarrow B.$ 取$V_k(\xi),$ 为$B$上纤维丛

$$V_k(\mathbb{R}^n)\rightarrow V_k(E)\rightarrow B.$$

注意到$\xi$有$k$个线性无关/正交截面当且仅当$V_k(\xi)$有一个截面. 我们希望说明$\xi$的SW类就是$V_k(\xi)$截面的第一阻碍类. 我们下面来计算$\pi_i(V_k(\mathbb{R}^n)).$ 先做一些准备.

定理 3 (Gysin sequence). 若$\xi$为秩$n$定向丛, 那么存在长正合列,

$$\cdots\rightarrow H^i(B)\xrightarrow{\cup e} H^{i+n}(B)\xrightarrow{\pi^\ast } H^{i+n}(E_0)\rightarrow H^{i+1}(B)\rightarrow\cdots$$

已知有

$$\cdots\rightarrow H^j(E,E_0)\rightarrow H^j(E)\rightarrow H^j(E_0)\rightarrow \cdots$$

注意到有$H^{j-n}(B)\cong H^{j-n}(E)\cong H^j(E,E_0),$ $H^j(B)\cong H^j(E).$ 由自然性即有定理中的长正合列.

注 4. 若非可定向, 那么定理在$\mod 2$意义下成立.

引理 5. $\pi_i(V_k(\mathbb{R}^n))=0,$ $\,\forall\,i<n-k.$ $\pi_{n-k}(V_k(\mathbb{R}^n))=\begin{cases} \mathbb{Z}& n-k \text{为偶数, 或}k=1\\ \mathbb{Z}_2 & \text{else} \end{cases}$

考虑纤维丛

$$V_{k-1}(\mathbb{R}^{n-1})\rightarrow V_k(\mathbb{R}^n)\rightarrow S^{n-1},\quad (v_1,\cdots,v_k)\mapsto v_k.$$

迭代构造, 我们有:

$$S^{n-k}=V_1(\mathbb{R}^{n-k+1})\hookrightarrow V_2(\mathbb{R}^{n-k+2})\hookrightarrow\cdots\hookrightarrow V_k(\mathbb{R}^n)$$

每个$\hookrightarrow$都对应了一个纤维丛. 作用$\pi_i,$ 我们看到$\pi_i(-)=0$在全体空间上, 若$i<n-k.$

当$i=n-k$时, 考虑$V_2(\mathbb{R}^{n-k+2}).$ 由长正合列, 这和$\pi_{n-k}(V_k(\mathbb{R}^n))$是一样的, $k\ge 2.$ 我们有

$$S^{n-k}\rightarrow V_2(\mathbb{R}^{n-k+2})\rightarrow S^{n-k+1}.$$

注意到, 记$UT$为单位切丛,

$$V_2(\mathbb{R}^{n-k+2})\cong UT(S^{n-k+1})\subset TS^{n-k+1}.$$

考虑$S^{n-k+1}$切丛的Gysin sequence, $E_0\cong UT(S^{n-k+1})\cong V_2(\mathbb{R}^{n-k+2}),$

$$0\rightarrow H^{n-k}(V_2)\rightarrow H^0(S^{n-k+1})\xrightarrow{\cup e} H^{n-k+1}(S^{n-k+1})\rightarrow H^{n-k+1}(V_2)\rightarrow H^1(S^{n-k+1})=0.$$

注意到$e=\chi(S^{n-k+1})\cdot PD(\ast ),$ 我们有$\chi:\mathbb{Z}\xrightarrow{\cup e} \mathbb{Z}.$ 因此若$n-k$为偶数, $\chi=0,$ $e=0,$ $H^{n-k}(V_2)=\mathbb{Z}.$ 由UCT与Hurewicz定理, $\pi_{n-k}(V_2)\cong \mathbb{Z}.$

若$n-k$为奇数, $\chi=2,$ $H^{n-k}(V_2)=0,$ $H^{n-k+1}(V_2)=\mathbb{Z}_2.$ 由UCT与Hurewicz定理, $\pi_{n-k}(V_2)=\mathbb{Z}_2.$

$k=1$时单独考虑, 由$V_1(\mathbb{R}^n)=S^{n-1}$即得.

给定$\xi$为$B$上的秩$n$实向量丛. $\,\forall\,k,$ $V_k(\xi)$为$B$上纤维丛.

定理 6. $V_k(\xi)$的第一障碍类$o_j(\xi)\in H^j(B;\pi_{j-1}(V_{n-j+1}(\mathbb{R}^n))),$ $j:=n-k+1.$ 映到$H^j(B;\mathbb{Z}_2),$ 我们有$o_j(\xi)\mapsto w_j(\xi),$ $\,\forall\,j\le n.$

回忆我们有$w_j(\xi)\neq 0$时, $V_{n-j+1}(\xi)$没有截面. 反过来不见得对: 当$n-k$为偶数时, $ o_j(\xi)\in H^j(B;\widetilde\mathbb{Z}), $ 可能为非零偶数. 即使$n-k$为奇数, 作为第一障碍类, $o_j(\xi)=w_j(\xi)=0,$ 我们也可能在之后有进一步的阻碍.

Chern类作为障碍

$V_{n-q}(\mathbb{C}^n):=\{\mathbb{C}^n\text{下的标准正交基}\},$ $\pi_i(V_{n-q}(\mathbb{C}^n))=\begin{cases} 0,&i\le 2q\\ \mathbb{Z},&i=2q+1 \end{cases}$ 给定秩$n$复向量丛$\omega,$ $V_{n-q}(\omega)$截面的第一障碍类$o_{q+1}(\omega)\in H^{2q+2}(B;\pi_{2q+1}(V_{n-q}(\mathbb{C}^n))),$ $o_{q+1}(\omega)= c_{q+1}(\omega)\in H^{2q+2}(B;\mathbb{Z}).$ 这里非局部系数是由复向量丛的(定向)特殊性.

Euler类

设$\xi$为秩$n$实向量丛. $\mathbb{R}^n\rightarrow E\rightarrow B.$ 考虑球丛$S(\xi):$

$$S^{n-1}\rightarrow S(E)\rightarrow B.$$

那么$S(\xi)$纤维$(n-2)$连通, 第一障碍类$o_n\in H^n(B;\pi_{n-1}(S^{n-1})).$

定理 7. 若$\xi$是定向的, 那么$\pi_1(B)$在$\pi_{n-1}(S^{n-1})$上的作用是平凡的. $o_n=e(\xi)\in H^{n}(B;\mathbb{Z}).$

文章最后更新于 2022-11-14 19:10:05