《代数拓扑2》笔记(21)-Pontrjagin示性类

Pontrjagin类

回顾实向量丛$\xi$可以复化为$\xi\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C},$ 与它的共轭丛同构. 定义第$i$个Pontrjagin示性类为

$$p_i(\xi):=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes \mathbb{C})\in H^{4i}(B;\mathbb{Z}).$$

用总Pontrjagin类:

$$p(\xi)=1+p_1(\xi)+\cdots+p_{[\frac{n}{2}]}(\xi).$$

由于它来自于Chern类, 它也满足如下性质:

$$p(\xi\oplus \eta)=p(\xi)\cup p(\eta)+2 \text{ torsions},$$

即

$$2[p(\xi\oplus\eta)-p(\xi)\cup p(\eta)]=0.$$

一个例子是$\tau_{S^n}\oplus\nu_{S^n}\cong \varepsilon^{n+1},$ $p(\tau_{S^n})=p(\tau_{S^n}\oplus\varepsilon^1)=1+2\text{ torsions}.$ 但由于$H^\ast (S^n)$为自由$\mathbb{Z}$-模, 挠当然是零.

注 1. *复化可表示为:

$$O(n)\hookrightarrow U(n),\quad A\mapsto A\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}(=A).$$

这诱导了$BO(n)\rightarrow BU(n),$ 拉回得到$H^{4i}(BO(n);\mathbb{Z})\leftrightarrow H^{4i}(BU(n);\mathbb{Z}),$ $c_{2i}\mapsto (-1)^ip_i.$*

实向量丛, 复向量丛与定向实向量丛

一个实向量丛复化后得到一个复向量丛, 一个复向量丛可以忘掉复结构成为定向实向量丛, 定向实向量丛又可以忘掉定向成为实向量丛. 从实向量丛$\xi$出发, 转一圈我们得到的是$(\xi\otimes \mathbb{C})_\mathbb{R}\cong \xi\oplus\xi.$ 一个复向量丛$\omega$转一圈得到的是$\omega_\mathbb{R}\otimes \mathbb{C}\cong \omega\oplus\overline\omega.$ 只需验证纤维上$x\mapsto (x,-ix)$给出了同构即可.

这样,

$$(1+c_1+\cdots+c_n)(1-c_1+\cdots \pm c_n)=c(\omega)c(\overline\omega)=c(\omega_\mathbb{R}\otimes \mathbb{C})=p^{\pm}(\omega_\mathbb{R})=1-p_1+\cdots\pm p_n.$$

推论 2. 复向量丛的Chern类决定了它实化的Pontrjagin类, 即

$$p_k(\omega_\mathbb{R})=c_k^2-2c_{k-1}c_{k+1}+\cdots\pm 2c_1c_{2k-1}\mp 2c_{2k}$$

注 3. 上面的三个转换化为结构群理论, 为$U(n)\rightarrow SO(2n)\rightarrow O(2n)\rightarrow U(2n).$ 那么拉回映射就是$(-1)^ic_{2i}\mapsto p_i\rightarrow$推论结论右侧.

取$\tau:=\tau_{\mathbb{C}\mathrm{P}^n},$ 我们希望研究$p_k(\tau_{\mathbb{C}\mathrm{P}^n}).$ 回忆$c(\tau)=(1+a)^{n+1},$ $a=-c_1(\gamma_n^1)\in H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^n).$ 这是通过如下过程得到:

$$\tau_{\mathbb{C}\mathrm{P}^n}\cong \operatorname{Hom}(\gamma^1,(\gamma^1)^\perp),$$ $$\tau_{\mathbb{C}\mathrm{P}^n}\oplus \varepsilon^1\cong \operatorname{Hom}(\gamma^1,\varepsilon^{n+1})\cong \operatorname{Hom}(\gamma^1,\varepsilon^1)^{\oplus (n+1)}$$

令$p_k:=p_k(\tau_\mathbb{R}),$ 那么

$$1-p_1+\cdots\pm p_n=c(\tau)c(\overline\tau)=(1-a^2)^{n+1},$$ $$p=1+p_1+\cdots+p_n=(1+a^2)^{n+1},\quad p_k=\binom{n+1}{k}a^{2k}\neq 0.$$

从一个实定向丛$\xi$出发, 我们转一圈得到$(\xi\otimes \mathbb{C})_\mathbb{R}.$ 我们已经知道$(\xi\otimes \mathbb{C})_\mathbb{R}\cong \xi\oplus\xi.$ 但不清楚的是定向是否发生改变?

取$(v_1,\cdots,v_n)$为$\xi_b$的正定向基, $b\in B.$ 那么$(v_1,iv_1,\cdots,v_n,iv_n)$为$(\xi\otimes \mathbb{C})_\mathbb{R}$的正定向基. 但$\xi\oplus\xi$自然的正定向基为$(v_1,\cdots,v_n,v_1,\cdots,v_n).$ 它们之间差了$\binom{n}{2}$次置换.

命题 4. $(\xi\otimes \mathbb{C})_\mathbb{R}\cong \xi\oplus\xi$保持定向当且仅当$\binom{n}{2}$为偶数.

‘

推论 5. 若$\xi$为秩$2n$实向量丛, 则$p_n(\xi)=e(\xi)^2\in H^{4n}(B;\mathbb{Z}).$

$p_n(\xi)=(-1)^nc_{2n}(\xi\otimes\mathbb{C})=(-1)^ne(\xi\otimes\mathbb{C}).$ 由推论, 这等于 $(-1)^ne(\xi\oplus \xi)(-1)^{\binom{2n}{2} }=e(\xi)^2.$

注 6. 通过BG理论, 我们事实上给出了$SO(n)\rightarrow O(n)\rightarrow U(n)\rightarrow SO(2n),$ 拉回得到$H^\ast BSO(2n)\rightarrow H^\ast BSO(n),$ $p_n\mapsto e^2.$

万有丛

$$\{\pm 1\}\cong \frac{O(n)}{SO(n)}\rightarrow BSO(n)\rightarrow BO(n),$$ $$BSO(n)\cong \widetilde G_n=\{X|X\subset \mathbb{R}^\infty, \text{秩$n$定向}\}.$$

定理 7. 令$R$为i.d., $\frac{1}{2}\in \mathbb{R},$ 那么

$$H^\ast (\widetilde G_{2m+1};R)\cong R[p_1,\cdots,p_m],\quad H^\ast (\widetilde G_{2m};R)\cong R[p_1,\cdots,p_{m-1},e],$$ $$p_i=p_i(\widetilde\gamma^n),\quad e=e(\widetilde\gamma^n)$$

等价的,

$$H^\ast (\widetilde G_n;R)=R[p_1,\cdots,p_{[\frac{n}{2}]},e]|\text{$n$为奇数时$e=0,$ $n$为偶数时$e=p^2_{\frac{n}{2} }$}.$$

推论 8. 对上述的$R,$

$$H^\ast (G_n;R)=R[p_1,\cdots,p_{\frac{n}{2} }].$$

应用

我们将证明:

1. 不存在一个反定向的微分同胚$\mathbb{C}\mathrm{P}^{2n}\rightarrow \mathbb{C}\mathrm{P}^{2n}.$

2. $\mathbb{C}\mathrm{P}^{2n}\neq \partial V^{2n+1}.$

3. $\mathbb{C}\mathrm{P}^{2n}\not\cong X\times Y,$ $X,Y$都不是点.

我们的工具是Chern, Pontrjagin数.

考虑$n$-划分$I=(i_1,\cdots,i_r),$ $i_1+\cdots+i_r=n.$ 取$I,J$分别为$n,m$划分, 那么

$$IJ:=(i_1,\cdots,i_r,j_1,\cdots,j_s),\quad IJ\text{为$n+m$划分}.$$

定义一个$I$的加细为$I’=I_1\cdots I_r,$ 使得$I_j$为$i_j$划分, $j\le r$. 定义划分数$p(n)=n$划分个数.

对于$n$维闭复流形$K^n,$ $I=(i_1,\cdots,i_r),$ 定义第$I$个Chern数为

$$c_I[K^n]:=\left<{}c_{i_1}\cdots c_{i_r},[K^n]\right>_K\in \mathbb{Z},$$

$c_i=c_i(\tau_K).$ 等价地, 定义$f$为$\tau_K$的分类映射:

$$f:K\rightarrow G_n(\mathbb{C}^\infty),\quad f^\ast \gamma^n=\tau_K.$$ $$f_\ast [K]\in H_{2n}(G_n;\mathbb{Z}).$$ $$c_I[K^n]=\left<{}c_{i_1}\cdots c_{i_r},f_\ast [K]\right>_{G_n}.$$

由于$H^\ast (G_n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c_1,\cdots,c_n],$ $\{c_I\}$组成了$H^{2n}(G_n;\mathbb{Z})$的一组$\mathbb{Z}$-基(秩为$p(n)$), Chern数$\{c_I[K]:I\in n\}\subset \mathbb{Z}$完全决定了$f_\ast [K]\in H_{2n}(G_n;\mathbb{Z}).$

文章最后更新于 2022-12-01 10:09:56