《PDE2》笔记-抽象函数
DreamAR

为了研究发展方程, 我们需要引入新的概念. 以热方程为例. 设$\Omega\subset \mathbb{R}^n,$ 记$\Omega_T=\Omega\times (0,T].$

由此启发, 设$I\subset \mathbb{R},$ $X$为Banach空间. 若$u(\cdot,t)\mapsto X$为Banach可测函数(即可由”简单函数”=”基”逼近), 且

则称$u\in L^p(I;X).$ 记$\Vert u\Vert_{L^p(I;X)}=\left(\int_I\Vert u\Vert^p_Xdt\right)^{\frac{1}{p} }.$ 定义

记$\Vert u\Vert_{C(I;X)}:=\sup_{t\in I}\Vert u_t\Vert_{X}.$ 若$I$为区间, 可将上述记号简记为$L^p(a,b;X)$等. 但连续情形不能忽略开闭性. 容易验证

类似地, 可以定义Sobolev空间. 若

则记$v=u_t,$ 为弱导数. 这样我们定义:

对$p\in [1,+\infty],$ $I=[a,b],$ 我们有嵌入定理:

定理 1. $W^{1,p}(I;X)\hookrightarrow C(I;X).$

简单来说, 我们有$u(t)=u(s)+\int_s^tu_tdt,$ 因此$|u(t)-u(s)|\le \int_t^s\Vert u_t\Vert dt.$

定理 2 (Lions). $\Omega\subset \mathbb{R}^n$为开集. 若$u\in L^2(0,T;H_0^1(\Omega)),$ $u_t\in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega)),$ 则$u\in C([0,T];L^2(\Omega)),$ 且$\Vert u(\cdot,t)\Vert_{L^2(\Omega)}^2$还是绝对连续的.

定理 3. $\Omega\subset \mathbb{R}^n$为有界开集, $\partial\Omega\in C^m,$ 若$u\in L^2(0,T;H^{m+2}(\Omega)),$ $u_t\in L^2(0,T;H^{m}(\Omega)),$ 则$u\in C([0,T];H^{m+1}(\Omega)).$

文章最后更新于 2022-12-02 16:40:42

  • 本文标题:《PDE2》笔记-抽象函数
  • 本文作者:DreamAR
  • 创建时间:2022-12-02 16:40:41
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