《PDE2》笔记-特征值问题
DreamAR

考虑自共轭算子$S:H_0^1(\Omega)\rightarrow H^{-1}(\Omega),$

系数均在$L^\infty(\Omega)$中, $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge \mu|\xi|^2.$ 我们有双线性有界泛函:

满足能量估计:

若存在$(u,\lambda),$ 使得在$H^{-1}(\Omega)$中有$Su=\lambda u,$ 则称其为特征对, $\lambda$为特征值, $u$为特征函数. 一个自然的问题是如何找到所有的$\lambda.$

若$\,\exists\,$特征对$(u,\lambda),$ 则$\,\forall\,v\in H_0^1(\Omega),$

此时,

由此启发, 我们定义

我们来证明$\lambda_1$为第一特征值. 首先证明它是可以达到的.

命题 1. $\,\exists\,w\in H_0^1(\Omega),$ $B_S[w,w]=\lambda_$

$\,\exists\,w_k,$ 满足$\Vert w_k\Vert_{L^2}=1,$ 使得

由后面的不等号, 有

因此$\{w_k\}$为$H_0^1$中的有界列, 有子列在$L^2$内收敛, $H_0^1$中弱收敛. 不妨设子列为自身, 即$w_k\xrightarrow{L^2}w,$ $w_k\rightharpoonup w\in H_0^1.$ 希望证明$B_S[w_k,w_k]\rightarrow B_S[w,w].$ 为此逐项考虑.

但是$\left<{}\partial_iw_k,\partial_iw_k\right>$项并不好证明收敛性, 我们转而考虑证明

这样结合前面的收敛就有,

由于$a^{ij}$一致椭圆, $\int_\Omega a^{ij}u_iv_j$定义了$H_0^1(\Omega)$上的内积$B_a[u,v],$ 诱导了范数$\Vert\cdot\Vert_{a}.$ 这时发现想证明的等式恰恰是

那么由弱Sharp连续性, 我们就得到了结论.

命题 2. $Sw=\lambda_1 w\in H^{-1}(\Omega).$

定义

那么$f(t)\ge 0,$ $f(0)=0,$ 在$t=0$处达到极小, 因此$f’(t)=0,$

由稠密性, 这就证明了命题.

归纳定义特征子空间$(\lambda_m,V_m):$

定理 3. $\Omega\subset \mathbb{R}^n$为有界开集, $S$系数满足前述条件, 则$S$有无穷多个特征值, 趋于$+\infty.$ 不同特征值对应特征向量$\{w_k\}$在$L^2$中正交, 构成标准正交基. 若$B_S$满足强制性条件, 则$\{\frac{w_k}{\sqrt{\lambda_k} }\}\in H_0^1$在内积$B_S[u,v]$下也构成标准正交基. 此时$u=\sum d_kw_k\in L^2(\Omega),$ 在$H_0^1$中也是.

由$S$的对称性, 由谱理论前两个性质正确. 当$B_S$满足强制性条件时, 只需验证若$B_S[u,\frac{w_k}{\sqrt{w_k} }]=0,$ $\,\forall\,k\ge 1$推出$u=0.$ 而这可根据$\{w_k\}$是$L^2$下的标准正交基得到. 再后一结论显然.

取$S=-\Delta,$ 特征问题变为

这时由第四章的理论, 可要求

最后一个包含关系要求$\partial\Omega\in C^m.$

文章最后更新于 2022-12-02 16:40:24

  • 本文标题:《PDE2》笔记-特征值问题
  • 本文作者:DreamAR
  • 创建时间:2022-12-02 16:40:22
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