《PDE2》笔记-双曲方程弱解

定义

$a^{ij},b^i,c$为在$\Omega_T$上的函数, 记

$$Lu:=-(a^{ij}u_j)_i+b^iu_i+cu.$$

若$a^{ij}$对称, 满足一致条件, 则称$\partial_t^2+L$为$\Omega_T$上二阶线性散度型一致双曲算子.

考虑初边值问题

$$\begin{cases} u_{tt}+Lu=f&in\:\Omega_T\\ u=0&on\:\partial\Omega\times (0,T]\\ u|_{t=0}=g,u_t|_{t=0}=h&in\:\Omega \end{cases}$$

在一致基础上, 考虑条件

$$a^{ij}\in C^1(\overline\Omega_T),\quad b^i,c\in C(\overline\Omega_T).$$ $$f\in L^2(\Omega_T),\quad g\in H_0^1(\Omega),\quad h\in L^2(\Omega).$$

双曲方程弱解需满足$u\in L^2(0,T;H_0^1(\Omega)),$ $u_{tt}\in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega)),$ $\,\forall\,v\in H_0^1(\Omega),$ a.e. $t\in (0,T],$

$$\left<{}u_{tt},v\right>+B[u,v;t]=\left<{}f(\cdot,t),v\right>$$

为了满足初始条件, 需要$u,u_t\in C([0,T];\ast ),$ 因此需要求$u_t\in L^2(0,T;L^2(\Omega))=L^2(\Omega_T),$ 这样

$$u\in W^{1,2}(0,T;L^2(\Omega))\hookrightarrow C([0,T];L^2(\Omega)),$$ $$u_t\in W^{1,2}(0,T;H^{-1}(\Omega))\hookrightarrow C([0,T];H^{-1}(\Omega)).$$

初值条件即指按相应模逼近, 未必是$g,h$原本所在的空间.

Galerkin逼近

同理考虑$u_m=\sum_{k=1}^md_m^kw_k,$ 令$v=w_k,$ 由$f_k=\left<{}w_k,f\right>\in L^2(0,T),$ $e_l^k=B[w_l,w_k;t]\in C([0,T]),$ 我们有如下定理:

定理 1. $u_m\in H^2(0,T;H_0^1(\Omega))$存在唯一解, $d_m^k\in H^2(0,T),$ $k=1,\cdots,m.$

接下来做能量估计. 首先考虑$u,u_m’.$ 代入$v=u_m’,$ 有

$$(u_m'',u_m')+B[u_m,u_m';t]=(f,u_m')\le \frac{1}{2}\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}^2+\Vert u_m'\Vert_{L^2}^2\right)$$ $$B[u_m,u_m';t]:=A(t)+B(t),\quad |B(t)|\le C(L,n)\left(\Vert u_m\Vert^2_{H^1(\Omega)}+\Vert u_m'\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$ $$A(t)=\frac{1}{2}\frac{d {} }{d {}t}\int_\Omega a^{ij}{u_m}_i{u_m}_j-\frac{1}{2}\int_\Omega \frac{d {}a^{ij} }{d {}t}{u_m}_i{u_m}_j:=\frac{1}{2}\frac{d {} }{d {}t}A[u_m;t]-\frac{1}{2}A_1[u_m;t],$$ $$|A_1|\le C_1(L,n)\Vert u_m\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2,\quad \Vert u_m\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2\le C(n)\Vert Du_m\Vert_{L^2(\Omega)}^2\le C(\lambda,n)A[u_m;t].$$

因此, 整理有

$$\frac{d {} }{d {}t}\left(\Vert u_m'\Vert_{L^2(\Omega)}^2+A[u_m;t]\right)\le C(L,n)\left(\Vert f(t)\Vert_{L^2(\Omega)}^2+A[u_m;t]+\Vert u_m'\Vert_{L^2(\Omega)}^2\right).$$

记$\eta(t)=\Vert u_m’(t)\Vert_{L^2(\Omega)}^2+A[u_m,t],$ 由Gronwall不等式, 我们有

$$\eta(t)\le C(T,L,n)(\eta(0)+\Vert f\Vert_{L^2(\Omega_T)}^2),\quad a.e. t\in [0,T].$$ $$\eta(t)\ge \Vert u_m'\Vert_{L^2(\Omega)}^2+C(\lambda,n)\Vert u_m\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2,\quad \eta(0)\le \Vert h\Vert_{L^2(\Omega)}^2+C(L)\Vert g\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2$$

这样我们就给出了

$$\sup_{0\le t\le T}\left(\Vert u_m(t)\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2+\Vert u_m'(t)\Vert_{L^2(\Omega)}^2\right)\le C(L,n,T)\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega_T)}^2+\Vert g\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2+\Vert h\Vert_{L^2(\Omega)}^2\right)$$

再估计$u_m’’.$ 类似地, 记$v_m=\sum_{k=1}^m(v,w_k)w_k,$ 那么

$$\left<{}u_m'',v\right>=(u_m'',v)=(u_m'',v_m)=(f,v_m)-B[u_m,v_m;t],$$ $$|\left<{}u_m'',v\right>|\le \Vert f\Vert_{L^2}\Vert v_m\Vert_{L^2}+C(n,L)\Vert u_m\Vert_{H_0^1}\Vert v_m\Vert_{H_0^1}\le C(n,L)\left(\Vert f\Vert_{L^2}+\Vert u_m\Vert_{H_0^1}\right)\Vert v\Vert_{H_0^1}.$$

这就给出了$\Vert u_m’’(t)\Vert_{H^{-1}(\Omega)}$的估计.

定理 2. 在系数条件满足时, 逼近解$u_m$满足

$$\sup_{0\le t\le T}\left(\Vert u_m\Vert_{H_0^1}+\Vert u_m'\Vert_{L^2}\right)+\Vert u_m''\Vert_{L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))}\le C(\Omega,L,T)\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega_T)}+\Vert g\Vert_{H_0^1}+\Vert h\Vert_{L^2}\right)$$

这样之后就有弱收敛子列$\{u_m\},$ 且时间导数也收敛, 给出$u,$ 且满足相同的能量估计. (操作上, 为了得到$L^\infty$控制, 需要给出$L^p$控制, $p\rightarrow\infty.$)

下面验证$u$是弱解. 方法同理. 考虑$\eta(t)v_N\xrightarrow{L^2(0,T;H_0^1(\Omega))} \eta(t)v,$ 代入到逼近解$u_m$对应的方程中. 先令$m\rightarrow\infty,$ 再令$N\rightarrow\infty$即可. 初值条件亦然, 取合适的$\eta$即可.

定理 3. 在系数条件下, 双曲方程存在弱解$u,$ 为Galerkin逼近解的极限, 且满足能量估计.

弱解唯一性

定理 4. 在前面的系数条件基础上, 若$b^i\in C^1([0,T],L^\infty(\Omega)),$ 则双曲方程解唯一.

只需考虑齐次问题. 取弱解$u\in L^2(0,T;H_0^1(\Omega)),$ $u_t\in L^2(\Omega_T),$ $u_{tt}\in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega)).$ 若$u_t\in L^2(0,T;H_0^1(\Omega)),$ 则取$v=u_t$代入方程即可. 但此时并没有该条件. 注意到,

$$(u'',w)=\frac{d {} }{d {}t}\left<{}u',w\right>-\left<{}u',w'\right>,$$

取$w$使得$w’=\pm u,$ $w(T)=0$即可进一步推导. 为此, $\,\forall\,s\in [0,T],$ 令

$$w(t)=\begin{cases} 0&s\le t\le T\\ \int_t^s u(\tau)d\tau & 0\le t<s \end{cases},$$

则$w$满足条件. 代入, 我们有:

$$\int_0^s \left<{}u'',w\right>+B[u,w;t]dt=0,\quad \int_0^s \left<{}u'',w\right>ds=\int_0^s \left<{}u',u\right>dt=\frac{1}{2}\Vert u(s)\Vert_{L^2(\Omega)}^2,$$ $$\begin{aligned} \int_0^s B[u,w;t]dt=&-\int_0^sB[w',w;t]dt\\ =&-\int_0^s \frac{d {} }{d {}t}\int_\Omega \frac{1}{2} a^{ij}w_iw_j+b^iw_iw dxdt\\ &+\int_0^s\int_\Omega \frac{1}{2}{a^{ij} }'w_iw_j+{b^i}'w_iw+b^iw_iw'-cw'wdxdt\\ =&\int_\Omega \frac{1}{2}a^{ij}w_iw_j+b^iw_iwdx|_{t=0}+I(w)\\ \ge &\frac{\lambda}{4}\Vert Dw(0)\Vert^2-C(n,L)\left(\Vert w(0)\Vert_{L^2(\Omega)}+\int_0^s \Vert w(t)\Vert_{H^1(\Omega)}^2+\Vert u(t)\Vert_{L^2(\Omega)}^2dt\right) \end{aligned}$$

整理得到

$$\Vert u(s)\Vert^2_{L^2(\Omega)}+\Vert w(0)\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2\le C(n,\Omega,L,T)\left(\Vert w(0)\Vert_{L^2(\Omega)}^2+\int_0^s \Vert w(t)\Vert_{H^1(\Omega)}^2+\Vert u(t)\Vert^2_{L^2(\Omega)}dt\right)$$

接下来希望将其转化为常见的Gronwall不等式. 令$v(t)=\int_0^t u(\tau)d\tau,$ 那么$w(0)=v(s),$ $w(t)=v(s)-v(t),$ $\,\forall\,t\le s.$

$$\Vert v(s)\Vert_{L^2(\omega)}^2=\int_\Omega \left(\int_0^s u(\tau)d\tau\right)^2dx\le T\int_0^s \Vert u(t)\Vert^2_{L^2(\Omega)}dt,$$ $$\int_0^s \Vert w(t)\Vert^2_{H^1}=\int_0^s\Vert v(s)-v(t)\Vert^2_{H^1}\le 2\int_0^s \Vert v(s)\Vert_{H^1}^2+\Vert v(t)\Vert_{H^1}^2\le 2\int_0^s\Vert v(t)\Vert^2_{H^1}dt+2s\Vert v(s)\Vert^2_{H^1}$$

代入不等式, 我们有$\,\forall\,s\in [0,T],$

$$\Vert u(s)\Vert^2_{L^2(\Omega)}+(1-2sc)\Vert v(s)\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2\le C(n,\Omega,L,T)\left(\int_0^s \Vert u(t)\Vert_{L^2(\Omega)}^2+\Vert v(t)\Vert^2_{H^1(\Omega)}dt\right).$$

令$T_0=\min\{\frac{1}{4C},T\},$ 那么当$s\in [0,T_0]$时, 记$F(t)=\int_0^t\Vert u(\tau)\Vert^2_{L^2(\Omega)}+\frac{1}{4}\Vert v(\tau)\Vert^2_{H^1(\Omega)}d\tau,$ 则

$$\frac{d {}F(s)}{d {}ds}\le C(\Omega,L,n,T)F(s),\quad \,\forall\,s\in [0,T_0].$$

由于$F(0)=0,$ 由Gronwanll不等式, $F(s)=0,$ $\,\forall\,s\in [0,T_0],$ 因此$u\equiv 0.$ 由分层法我们就知道在$\Omega_T$上均成立.

对于线性方程, 唯一性和解的能量/最大模/Schauder估计就给出了解关于已知数据的稳定性(但关于方程的系数要进一步判断).

解的正则性

简单起见, 设方程系数与时间无关.

二阶正则性

若$f\in H^1(0,T;L^2(\Omega)),$ 则$f_k(t)=\left<{}f,w_k\right>\in H^1(0,T).$ 此时$e_l^k=B[w_l,w_k;t]$为常数, $u_m=d_m^kw_k,$ ${d_m^k}’’\in H^1(0,T),$ 故$u_m’’’\in L^2(0,T;H_0^1(\Omega)).$ 记$v_m=u_m’,$ 对方程两边求导, 有

$$\left<{}v_m'',v_m'\right>+B[v_m,v_m';t]=(f',v_m')\le \frac{1}{2}\left(\Vert f'\Vert_{L^2(\Omega)}^2+\Vert v_m'\Vert_{L^2(\Omega)}^2\right)$$ $$\begin{aligned} B[v_m,v_m';t]&\ge\frac{d {} }{d {}t}A[v_m,v_m;t]-C(L)\left(\Vert v_m\Vert^2_{H_0^1}+\Vert v_m'\Vert_{L^2(\Omega)}\right)\\ &\ge\frac{d {} }{d {}t}A[v_m,v_m;t]-C(L,n)\left(A(v_m,v_m;t)+\Vert v_m'\Vert_{L^2(\Omega)}\right) \end{aligned}$$

记$F(t)=\frac{1}{2}\Vert v_m’\Vert_{L^2(\Omega)}^2+A(v_m,v_m;t),$ 我们就有

$$F'(t)\le C \left(F(t)+\Vert f'\Vert_{L^2(\Omega)}^2\right),\quad F(t)\le C(L,T,n)\left(\Vert f\Vert^2_{H^1(0,T;L^2(\Omega))}+F(0)\right),\quad a.e.\:t\in [0,T]$$

接下来计算$F(0).$

$$\begin{aligned} \Vert v_m'(0)\Vert^2_{L^2(\Omega)}&=(f(0),u_m''(0))-B[u_m(0),u_m''(0);0]\\ &\le \varepsilon\Vert u_m''(0)\Vert_{L^2}^2+\frac{1}{4\varepsilon}\Vert f(0)\Vert^2_{L^2(\Omega)}-2A(u_m(0),u_m''(0);0)-\cdots\\ &\le 3\varepsilon\Vert u_m''(0)\Vert_{L^2(\Omega)}^2-2A(u_m(0),u_m''(0);0)+C(L,\varepsilon)\left(\Vert u_m(0)\Vert_{H_0^1(\Omega)}^2+\Vert f\Vert_{H^1(0,T;L^2(\Omega))}\right) \end{aligned}$$ $$|A(u_m(0),u_m''(0);0)|\le \varepsilon\Vert u_m''(0)\Vert^2_{L^2(\Omega)}+C(L,\varepsilon)\Vert u_m(0)\Vert_{H^2},\quad \Vert u_m(0)\Vert^2_{H^2(\Omega)}\le C\Vert g\Vert^2_{H^2(\Omega)}$$

令$\varepsilon\le \frac{1}{16},$ 则有

$$\Vert v_m'(0)\Vert^2_{L^2(\Omega)}\le C(L,n)\left(\Vert f\Vert^2_{H^1(0,T;L^2(\Omega))}+\Vert g\Vert^2_{H^2(\Omega)}\right)$$

$F(0)$中还有另一项需要处理:

$$A(v_m(0),v_m(0);0)=A(h_m,h_m;0)\le C(L)\Vert h\Vert^2_{H_0^1(\Omega)}$$ $$F(0)\le C(L,n)\left(\Vert f\Vert^2_{H^1(0,T;L^2(\Omega))}+\Vert g\Vert^2_{H^2(\Omega)}+\Vert h\Vert^2_{H_0^1(\Omega)}\right)$$

令$m\rightarrow\infty,$ 就给出了

$$\sup_{0\le t\le T}\left(\Vert u''(t)\Vert_{L^2(\Omega)}+\Vert u'(t)\Vert_{H_0^1(\Omega)}\right)\le C(L,n,T)\left(\Vert f\Vert_{H^1(0,T;L^2(\Omega))}+\Vert g\Vert_{H^2(\Omega)}+\Vert h\Vert_{H_0^1(\Omega)}\right)$$

由$Lu=f-u_{tt},$ 由椭圆方程正则性, 若$\partial\Omega\in C^2,$ $a^{ij}\in C^1(\overline\Omega),$ 有

$$\Vert u(t)\Vert_{H^2(\Omega)}\le C(\Omega,L,n)\left(\Vert u(t)\Vert_{L^2(\Omega)}+\Vert f(t)\Vert_{L^2(\Omega)}+\Vert u''(t)\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$

$u’’’$的估计和抛物型方程一样. 综上, 我们有如下定理:

定理 5. 设$\Omega\subset \mathbb{R}^n$为有界开集, $L$系数适当, $a^{ij}\in C^1(\overline\Omega),$ $b^i,c\in L^\infty(\Omega),$ $\partial \Omega\in C^2.$ 若$f\in H^1(0,T;L^2(\Omega)),$ $g\in H_0^2(\Omega),$ $h\in H_0^1(\Omega),$ 则$u$满足如下正则性估计:

$$\begin{aligned} \sup_{0\le t\le T}\left(\Vert u''(t)\Vert_{L^2(\Omega)}+\Vert u'(t)\Vert_{H_0^1(\Omega)}+\Vert u(t)\Vert_{H^2(\Omega)}\right)&+\Vert u'''\Vert_{L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))}\le\\ C(L,n,T,\Omega)&\left(\Vert f\Vert_{H^1(0,T;L^2(\Omega))}+\Vert g\Vert_{H^2(\Omega)}+\Vert h\Vert_{H_0^1(\Omega)}\right) \end{aligned}$$

高阶正则性

同理用归纳法. 对于$v=u_t,$ $v|_{t=0}=h,$ $v_t|_{t=0}=u_{tt}|_{t=0}=f(x,0)-Lg.$ 此时结合椭圆方程正则性能给出低阶的正则性估计. 为了进一步往下走, 需要

$$f(0)-Lg\in H_0^1(\Omega),\quad \frac{d {}f}{d {}t}|_{t=0}-Lh\in L^2(\Omega),$$

由此需引入相容性条件. 记$g_0=g,g_1=h,$

$$g_{2k}=\frac{d {}^{2k-2}f}{d {}t^{2k-2} }f|_{t=0}-Lg_{2k-2},\quad g_{2k+1}=\frac{d {}^{2k-1}f}{d {}t^{2k-1} }f|_{t=0}-Lg_{2k-1}$$

若$g_i\in H_0^1(\Omega),$ $0\le i\le m-1,$ $g_m\in L^2(\Omega),$ 则称相容性条件($A_m$)满足. 定理类似, 在此不作陈述. 类似地可以推出条件全部光滑时, 弱解也是光滑解.

文章最后更新于 2022-12-24 09:06:53