《抛物方程》笔记(1)-极值原理

记号

略. 参考辜联崑《二阶抛物型偏微分方程》.

抛物方程在仿射变换$x=Ay$下还是抛物方程.

弱极值原理

设$u\in C_p^2,$ $\Delta_x u-u_t>0.$ 假设$u$在$P(D)$内取极大值, 那么在极值点$\Delta_x u(x_0,t_0)\le 0,$ $\frac{\partial {}u}{\partial {}t}\ge 0,$ 矛盾. 此时$u$只能在边界取到极大值.

对于一般的$L,$ 我们有定理:

定理 1. 若$c\le 0,$ $Lu>0,$ 则$u$不能在$P(D)$内达到非负极大值; $Lu<0,$ 则$u$不能在$P(D)$内达到非正极小值.

不失一般性, 设$Hess=\operatorname{diag}\{\Gamma_1,\cdots,\Gamma_n\}.$ 假设有这样的极值, 在极值点$\frac{\partial {}u}{\partial {}x_i}=0,$ $\frac{\partial {}u}{\partial {}t}\ge 0,$ $a^{ij}u_{ij}\le 0,$ $cu\le 0,$ 因此$0<Lu\le 0.$ 矛盾.

对于$c=0$的情形, $u$的正负性限制可以取消. 因为此时$Lu=L(u+C),$ 总能将极值改为正负性适当.

若$Lu\ge 0,$ $c\le 0,$ $u\in C_p^2(D)\cap C(\overline D),$ 那么考虑$v=u-\varepsilon t$即可(更严谨的, $t-t_0$). 此时$Lv=Lu-c\varepsilon t+\varepsilon>0.$ 那么$u\le \max_{\partial_pD}(u-\varepsilon t)^++\varepsilon t\le \max_{\partial_pD}u^++\varepsilon T.$ 令$\varepsilon\rightarrow 0$即可. 注意此时的极值原理是弱的.

若$Lu\ge 0,$ $c\le C_0,$ 可考虑$v=ue^{-(C_0+1)t}$满足的方程. 此时

$$\widetilde Lv:=a_{ij}v_{ij}+b_iv_i+(c-(C_0+1))v-v_t=e^{-(C_0+1)t}Lu\ge 0,$$

$\widetilde L$中常数项系数非正, 因此可用前面的结论. 不过此时只能推断出$u\le e^{(C_0+1)t}\max_{\partial_pD}(ue^{-(C_0+1)t})^+.$ 常用的结论是若$u|_{\partial_pD}\le 0,$ 则$u\le 0.$

强极值原理

定理 2. 考虑$Q=Q(x_0,r,t_1,t_0).$ 若$Lu\ge 0,$ $c\le 0,$ $u\in C_p^2(P(Q))\cap C(\overline Q),$ $u(x_0,t_0)=\max_{P(Q)}u> 0,$ 则$u$在$\overline{Q(x_0,r,t_1,t_0)}$上为常数.

首先说明$u(x_0,t_0)=u(x_0,t),$ $\,\forall\,t0,$ 同时其在$\widetilde Q:=Q(x_0,\delta,t_1,t_0)$内部达到极值. 考虑

$$v=\varepsilon(\delta^2-r^2)^2e^{-a(t-t_0)}+u.$$

固定$a,$ 存在这样的$\varepsilon,$ 使得$v|_{B_n^\delta(x_0)\times \{t_1\} }<u(x_0,t_0).$ 在$S(\widetilde Q)$上, $v=u\le u(x_0,t_0).$ 结合来看, 在抛物边界$\partial_p\widetilde Q$上, $v\le u(x_0,t_0).$ 因此其在$P(\widetilde Q)$内部达到极值.

只需验证$Lv>0,$

$$\begin{aligned} Lv=Lu+\varepsilon e^{-a(t-t_0)}&\left\{8a_{ij}(x_i-x_{0,i})(x_j-x_{0,j})-4a_{ii}(\delta^2-r^2)\right.\\ &\left.-4b_i(\delta^2-r^2)(x_i-x_{0,i})+(a+c)(\delta^2-r^2)^2\right\} \end{aligned}$$

只需说明大括号内可以取正即可. 在$r$靠近$\delta$时, 利用第一项. 由$a_{ij}$的一致椭圆性, $\,\exists\,\delta_0,$ 当$\delta_0<r<\delta$时, 括号内取正; 当$\delta<\delta_0$时, 利用最后一项. 令$a$充分大, 即可令括号内取正.

这样与$v$的极值原理矛盾, 从而$u(x_0,t)=u(x_0,t_0),$ $\,\forall\,t<t_0.$

接下来, 由仿射变换, $u(x_0,t_0)=u(k(x_0’,t_0’)+(1-k)(x_0,t_0)),$ $\,\forall\,k\in (0,1),$ $(x_0’,t_0’)\in Q.$ 于是我们得到了结论.

对一般的区域$D$, 利用多个小柱体可以得到更一般的结论. $u(x_0,t_0)>0$若是极大值, 则可以控制沿时间单调递减能到达的区域, 其上函数值均为常数.

若$c=0,$ 同理可去掉正负性的要求.

先验估计

基本思路是利用弱极值原理加加减减.

定理 3. 若$c\le C_0,$ $u\in C_p^2(P(D))\cap C(\overline D).$ 当$Lu\ge f$时, $u\le e^{C_0^+t}(\max_{\partial_pD}u^++t\max_{\overline D}f^-);$ 若$Lu\le f,$ 则$u\ge -e^{C_0^+t}(\max_{\partial_pD}u^-+t\max_{\overline D} f^+).$

令$v=u-e^{C_0^+t}(\max_{\partial_pD}u^++t\max_{\overline D} f^-),$ 那么$v|_{\partial_pD}\le 0,$

$$Lv=Lu+e^{C_0^+t}(C_0^+-c)(\max_{\partial_pD}u^++t\max_{\overline D} f^-)+e^{C_0^+t}\max_{\overline D} f^-\ge f+\max_{\overline D} f^-\ge 0.$$

这就说明了$v\le 0,$ 从而$u\le e^{C_0^+}(\max_{\partial_pD}u^++t\max_{\overline D}f^-).$

若$Lu\le f,$ 则$L(-u)\ge -f,$

$$u\ge -e^{C_0^+t}(\max_{\partial_pD}(-u)^++t\max_{\overline D}(-f)^-)=-e^{C_0^+t}(\max_{\partial_pD}u^-+t\max_{\overline D} f^+).$$

推论 4. $Lu=f,$ $c\le C_0,$ 那么$\Vert u\Vert_{C_0(\overline D)}\le e^{C_0^+t}(\Vert u\Vert_{C_0(\partial_pD)}+t\Vert f\Vert_{C_0(\overline D)}).$

推论 5. 若$Lu_1=Lu_2=f,$ $c\le C_0,$ 在$\partial_pD$上$u_1=u_2.$ 那么在整个$\overline D$上, 也有$u_1\equiv u_2.$

推论 6. 若$c=0,$ $Lu=0,$ 则$\min_{\partial_pD}u\le u\le \max_{\partial_pD}u.$

文章最后更新于 2023-03-06 13:01:03