考试题习题 1. 叙述$C^\infty$-微分流形的定义. 设若$M$和$N$分别是$m$维和$n$维的$C^\infty$-微分流形, 证明$M\times N$是$m+n$维$C^\infty$-微分流形. 证: 称$M$为拓扑流形, 若$M...

广义函数基本定义$C_c^\infty\subset \mathscr{S}\subset C^\infty,$ 记为$\mathscr{D}\subset \mathscr{S}\subset \mathscr{E},$ 那么$\mathscr{D...

外微分形式的积分定义我们熟知有积分变量代换公式: 设$f\in C_c(\mathbb{R}^m),$ $h:\mathbb{R}^m\approx \mathbb{R}^m$为微分同胚, 则 \int_{\mathbb{R}^m}f(x)dx^1...

微分形式性质定理 1. 设$f\in C^\infty(M,N),$ 则$f^\ast \circ d=d\circ f^\ast .$ 证: $\,\forall\,\omega\in \mathcal{A}^r(N).$ 当$r=0$时, (...

微分形式回忆$\,\forall\,f\in C^\infty(M),$ $(df)_p\in T_p^\ast M,$ 称为$f$在$p$处的微分. 局部上我们有 df|_U=\sum_i \frac{\partial {} }{\partial...

椭圆方程回忆上节说明了$Ax=b$的存在性等价于$A^\ast y=0$的唯一性. 若$A$是$n\times n$矩阵, 那么$A^\ast y=0$的唯一性等价于$Ay=0$的唯一性. 因此$Ax=b$的存在性等价于唯一性. 对于椭圆型方程, 考...

外代数推论 1. 若$r>n,$ 则$\Lambda^r(V^\ast )=\{0\}.$ 若$0\le r\le n,$ 则$\dim \Lambda^r(V^\ast )=\binom{n}{r},$ 以$\{\omega^{i_1}\we...

定理 1. $H$为Hilbert空间. 若$K:H\rightarrow H$为紧算子, 则$L=I-K$的值域是闭的. 证: $H=N(L)\oplus N(L)^\perp.$ $L:N(L)^\perp\rightarrow R(L)$是一...

经典方程回忆数理方程, 我们最常接触的是如下方程: $-\Delta u=f,$ Poisson方程. 讨论边值问题, 边界条件为Dirichlet或Neumann型. $u_{tt}-\Delta u=f,$ 波动方程. 无界区域上讨论Cauc...

对称张量与反称张量对$\Phi\in V^\ast \otimes \cdots\otimes V^\ast =L(V,\cdots,V;\mathbb{R}),$ 若 \Phi(v_1,\cdots,v_i,\cdots,v_j,\cdots,v_...