广义函数基本定义
记为
那么
注意这里用到基本空间前者在后者稠密.
广义函数的连续性等价于有界性. 注意这里有界性较为特殊,
因为基本空间不是赋范的. 但是可以取到一列范数.
由该性质可以得到一个重要的对偶性质:
磨光
称卷积 为 的磨光...
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《现代PDE基础》笔记(10)-复习
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《微分流形》第七章-流形上的积分
外微分形式的积分定义我们熟知有积分变量代换公式: 设 为微分同胚, 则 若 满足 则处处有 称它是保定向的微分同胚. 由上节课内容, 给了 一个自然的定向. 现 为两个不同坐标系, 令 为具紧支集连续 次外微分形式, 那么由于 我们... -
《微分流形》第七章-流形的定向
微分形式性质定理 1. 设 则 证: 当 时, 当 时, 做归纳. 不妨设 那么 我们有: 流形的定向定义 2. 若 上存在连续单位法向量 则称 是可定向的. 一般地, 给定抽象 -流形 由于缺少外围空间, 不便谈论法向量... -
《微分流形》第七章-微分形式
微分形式回忆 称为 在 处的微分. 局部上我们有 称为 次外微分形式. 令 称为微分形式空间. 它以外积 为乘法结构, 是一个分层代数. 若 则它诱导了拉回映照 考察系数: 确实是光滑的, 因此 于是 且 ... -
《现代PDE基础》笔记(9)-伽辽金(Galerkin)方法
椭圆方程回忆上节说明了 的存在性等价于 的唯一性. 若 是 矩阵, 那么 的唯一性等价于 的唯一性. 因此 的存在性等价于唯一性. 对于椭圆型方程, 考虑齐次Dirichlet边界问题 我们有Garding不等式: 当 时, 我们可以说明问题的... -
《微分流形》第六章-张量丛
外代数推论 1. 若 则 若 则 以 为基. 证: 那么 因此 时, 求和集为空集, 时, 只需证 线性无关. 利用 其它作用为 即可. 推论 2. 设 是 两组基, 则 证: 取 的对偶基 往等式两侧作用 即... -
闭值域定理
定理 1. 为Hilbert空间. 若 为紧算子, 则 的值域是闭的. 证: 是一一的. 断言 满足 不然, 满足 由于 是紧算子, 有子列收敛, 不妨设为自身收敛. 这样, 结合闭性, 这说明了 自身也收敛到 而 ... -
《现代PDE基础》笔记(8)-数理方程
经典方程回忆数理方程, 我们最常接触的是如下方程: Poisson方程. 讨论边值问题, 边界条件为Dirichlet或Neumann型. 波动方程. 无界区域上讨论Cauchy问题, 有界区域上讨论初边值问题. 需对 与 给定初始条件,... -
《微分流形》第五章-张量
对称张量与反称张量对 若 则称 是对称(反称)的. 用 表示 中对称张量全体, 表示反称张量全体. 令 表示 阶置换群. 对于 定义 表示奇偶排列. 易验证 定义作用 易见 且 是线性映照. 那么 是对称(反称)的 取 的一组... -
《微分流形》讨论稿-线性映照空间
张量表示对于一般的 -重线性映照空间, 我们有 定义 -重线性映照 即 其中 为标量乘法, 由向量空间 决定. 只需利用万有映照性质说明 为同构. 首先证明 取 的基 那么任意 可分解为 因此每个 又可分解为 即 ...